134 3 Coordinates
Box 3.11 (Representation of a placement vector X ∈ S
2
R in both the equatorial frame of reference
{E 1 , E 2 , E 3 O} and the meta-equatorial (oblique) frame of reference {E 1 , E 2 , E 3 O}).
(i) The Cartesian representation:
E 1 X + E 2 Y + E 3 Z = E 1 X
+ E 2 Y
+ E 3 Z
.
(3.65)
(ii) The curvilinear representation ({E 1 , E 2 , E 3 O} → {E 1 , E 2 , E 3 O}):
E 1 = E 1 cos Ω − E 2 sin Ω cos I + E 3 sin Ω sin I ,
E 2 = E 1 sin Ω + E 2 cos Ω cos I − E 3 cos Ω sin I ,
E 3 = E 2 sin I + E 3 cos I ,
(3.66)
X =
= E 1 X + E 2 Y + E 3 Z =
= E 1
`
X cos Ω + Y sin Ω
´
+
+E 2
` − X sin Ω cos I + Y cos Ω cos I + Z sin I
´
+
+E 3
`
X sin Ω sin I − Y cos Ω sin I + Z cos I
´
,
(3.67)
X =
= RE 1
`
cos Φ cos Λ cos Ω + cos Φ sin Λ sin Ω
´
+
+RE 2
` − cos Φ cos Λ sin Ω cos I + cos Φ sin Λ cos Ω cos I + sin Φ sin I
´
+
+RE 3
`
cos Φ cos Λ sin Ω sin I − cos Φ sin Λ cos Ω sin I + sin Φ cos I
´
=
= RE 1 cos B cos A + RE 2 cos B sin A + RE 3 sin B .
(3.68)
(iii) The curvilinear representation ({E 1 , E 2 , E 3 O} → {E 1 , E 2 , E 3 O}):
E 1 = +E 1 cos Ω
+ E 2 sin Ω ,
E 2 = −E 1 sin Ω cos I + E 2 cos Ω cos I + E 3 sin I ,
E 3 = +E 1 sin Ω sin I − E 2 cos Ω sin I + E 3 cos I ,
(3.69)
X =
= E 1 X
+ E 2 Y
+ E 3 Z
=
= E 1
`
X
cos Ω − Y
sin Ω cos I + Z
sin Ω sin I
´
+
+E 2
`
X
sin Ω + Y
cos Ω cos I − Z
cos Ω sin I
´
+
+E 3
`
Y
sin I + Z
cos I
´
,
(3.70)
X =
= RE 1
`
cos B cos A cos Ω − cos B sin A sin Ω cos I + sin B sin Ω sin I
´
+
+RE 2
`
cos B cos A sin Ω + cos B sin A cos Ω cos I − sin B cos Ω sin I
´
+
+RE 3
`
cos B sin A sin I + sin B cos I
´
=
= RE 1 cos Φ cos Λ + RE 2 cos Φ sin Λ + RE 3 sin Φ .
(3.71)