Chapitre 11. Intervalles de confiance et tests d’hypoth` eses
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• ´
Etude de l’intervalle de confiance par la m´ ethode du bootstrap
11.1- Simulez M = 500 ´ echantillons de taille n = 20 suivant une loi exponentielle
d’esp´ erance 1/λ = 10.
11.2- Sur chaque ´ echantillon, effectuez une estimation par intervalle de confiance
` a 90 % de la moyenne 1/λ par la m´ ethode percentile du bootstrap.
11.3- V´ erifiez par la m´ ethode d´ ecrite pr´ ec´ edemment le niveau de l’intervalle de
confiance propos´ e.
11.4- Comparez ce niveau avec celui obtenu par l’intervalle de confiance classique de la moyenne (proc´ edure t.test()).
B- ´
Etude des risques dans les tests d’hypoth` eses
L’objectif de ce TP est d’explorer les risques associ´ es aux tests d’hypoth` eses,
` a savoir :
11.1- P[d´ ecider H 1 |H 0 est vraie] = α le risque de d´ ecider H 1 alors que la r´ ealit´ e
est H 0 ;
11.2- P[ne pas d´ ecider H 1 |H 1 est vraie] = β le risque de ne pas d´ ecider H 1 alors
que la r´ ealit´ e est H 1 .
• ´
Etude du risque de premi` ere esp` ece
11.1- Simulez M = 500 ´ echantillons de taille n = 20 suivant une loi normale de
moyenne μ = 4 et de variance σ
2
= 1.2.
11.2- Sur chaque ´ echantillon, effectuez au seuil α = 5 % le test de Student pour
les hypoth` eses H 0 : μ = 4 et H 1 : μ 4.
11.3- Comptez le nombre de fois que vous d´ ecidez H 1 . Quel r´ esultat attendiezvous ?
11.4- Augmentez la taille M des simulations.
11.5- Refaites cette proc´ edure pour la valeur μ = 1, avec des ´ echantillons de
taille n = 100 provenant d’une loi du χ
2 (1).
11.6- Mˆ eme travail que la question pr´ ec´ edente avec n = 10. Que remarquezvous ? Comment expliquez-vous cela ?
11.7- En fait, pour chacun des M = 500 ´ echantillons, on prend la d´ ecision
soit d’accepter H 1 , soit de ne pas l’accepter. Nous pouvons noter d j
(1 ≤ j ≤ M) la variable al´ eatoire qui prend la valeur 1 si l’on d´ ecide
H 1 et 0 sinon (fond´ e sur le j-i` eme ´ echantillon). La variable d j suit une loi
de Bernoulli de param` etre p = P[d j = 1] = P[d´ ecider H 1 ]. Les variables
d j ´ etant ind´ ependantes, la variable d =
M
j=1 d j suit une loi binomiale
Bin(M, p). Elle compte le nombre de fois que l’on d´ ecide H 1 . Si H 0 est
vraie, et que le test est bien construit (valeur critique choisie correctement), alors on devrait avoir p = P[d´ ecider H 1 |H 0 est vraie] = α.
Calculez un intervalle de confiance de niveau de confiance 95 % pour le
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Etude de l’intervalle de confiance par la m´ ethode du bootstrap
11.1- Simulez M = 500 ´ echantillons de taille n = 20 suivant une loi exponentielle
d’esp´ erance 1/λ = 10.
11.2- Sur chaque ´ echantillon, effectuez une estimation par intervalle de confiance
` a 90 % de la moyenne 1/λ par la m´ ethode percentile du bootstrap.
11.3- V´ erifiez par la m´ ethode d´ ecrite pr´ ec´ edemment le niveau de l’intervalle de
confiance propos´ e.
11.4- Comparez ce niveau avec celui obtenu par l’intervalle de confiance classique de la moyenne (proc´ edure t.test()).
B- ´
Etude des risques dans les tests d’hypoth` eses
L’objectif de ce TP est d’explorer les risques associ´ es aux tests d’hypoth` eses,
` a savoir :
11.1- P[d´ ecider H 1 |H 0 est vraie] = α le risque de d´ ecider H 1 alors que la r´ ealit´ e
est H 0 ;
11.2- P[ne pas d´ ecider H 1 |H 1 est vraie] = β le risque de ne pas d´ ecider H 1 alors
que la r´ ealit´ e est H 1 .
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Etude du risque de premi` ere esp` ece
11.1- Simulez M = 500 ´ echantillons de taille n = 20 suivant une loi normale de
moyenne μ = 4 et de variance σ
2
= 1.2.
11.2- Sur chaque ´ echantillon, effectuez au seuil α = 5 % le test de Student pour
les hypoth` eses H 0 : μ = 4 et H 1 : μ 4.
11.3- Comptez le nombre de fois que vous d´ ecidez H 1 . Quel r´ esultat attendiezvous ?
11.4- Augmentez la taille M des simulations.
11.5- Refaites cette proc´ edure pour la valeur μ = 1, avec des ´ echantillons de
taille n = 100 provenant d’une loi du χ
2 (1).
11.6- Mˆ eme travail que la question pr´ ec´ edente avec n = 10. Que remarquezvous ? Comment expliquez-vous cela ?
11.7- En fait, pour chacun des M = 500 ´ echantillons, on prend la d´ ecision
soit d’accepter H 1 , soit de ne pas l’accepter. Nous pouvons noter d j
(1 ≤ j ≤ M) la variable al´ eatoire qui prend la valeur 1 si l’on d´ ecide
H 1 et 0 sinon (fond´ e sur le j-i` eme ´ echantillon). La variable d j suit une loi
de Bernoulli de param` etre p = P[d j = 1] = P[d´ ecider H 1 ]. Les variables
d j ´ etant ind´ ependantes, la variable d =
M
j=1 d j suit une loi binomiale
Bin(M, p). Elle compte le nombre de fois que l’on d´ ecide H 1 . Si H 0 est
vraie, et que le test est bien construit (valeur critique choisie correctement), alors on devrait avoir p = P[d´ ecider H 1 |H 0 est vraie] = α.
Calculez un intervalle de confiance de niveau de confiance 95 % pour le