Chapitre 11. Intervalles de confiance et tests d’hypoth` eses
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• Test des rangs de Wilcoxon ou Mann-Whitney pour deux ´ echantillons ind´ ependants
Descriptif du test : Le test de Wilcoxon ou test des rangs est un test
non param´ etrique qui teste l’´ egalit´ e de deux distributions (not´ ees F 1 et
F 2 ). Les hypoth` eses du test sont : H 0 : F 1 = F 2 versus H 1 : F 1
>
<
F 2 . Le
principe du test est le suivant : on trie les valeurs des deux s´ eries mises
en commun dans le sens croissant, on attribue le rang 1 ` a la plus petite
valeur, le rang 2 `
a la valeur suivante et ainsi de suite. On calcule ensuite le score de chacune des s´ eries en sommant les rangs obtenus pour
chacune d’elles. `
A l’aide d’une table ad´ equate, on d´ ecide si ces scores
sont compatibles avec l’hypoth` ese H 0 d’´ egalit´ e des distributions. Par
convention, la statistique de test S est le score de l’´ echantillon qui a le
plus petit effectif. On utilise aussi parfois la statistique W = S −
n 0 (n 0 +1)
2
.
Conditions de validit´ e : Dans le cas o` u n 0 = min(n 1 , n 2 ) ≤ 10, la statistique W ne suit pas une loi usuelle, mais on trouve les probabilit´ es
correspondantes dans la table de Mann-Whitney/Wilcoxon (fonction
pwilcox()).
Dans le cas o` u min(n 1 , n 2 ) ≥ 10, on peut consid´ erer que
W ∼ N
μ W =
n 1 n 2
2 ; σ
2
W = n 1 n 2
n 1 +n 2 +1
12
. Dans le cas d’ex æquo parmi les
rangs, on utilisera aussi une approximation normale, mais avec
σ
2
W =
n 1 n 2
12 ×
(n 1 + n 2 + 1) −
g
j=1
t
3
j −t j
(n 1 +n 2 )(n 1 +n 2 −1)
o` u g est le nombre de
groupes d’ex æquo et t j le nombre de rangs ex æquo dans le groupe j.
Instruction R : Il est possible d’utiliser la fonction wilcox.test(). On
utilisera le param` etre exact=FALSE pour le calcul approch´ e par la loi
normale.
Exemple d’application : On se r´ ef` ere au jeu de donn´ ees INTIMA.MEDIA et l’on se demande cette fois-ci si les hommes qui fument sont plus
vieux que les hommes qui ont arrˆ et´ e de fumer. Dans cet ´ echantillon, il
y a neuf fumeurs et douze anciens fumeurs.
> wilcox.test(AGE[SEXE==1&tabac==2],AGE[SEXE==1&tabac==1],
+
exact=FALSE,alternative="greater")
Wilcoxon rank sum test with continuity correction
data: AGE[SEXE == 1 & tabac == 2] and AGE[SEXE == 1 &
tabac == 1]
W = 88.5, p-value = 0.007756
alternative hypothesis: true location shift is greater
than 0
On peut donc conclure, avec un risque de se tromper de 5 %, que les
hommes qui fument sont plus vieux que les hommes qui ont arrˆ et´ e.
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• Test des rangs de Wilcoxon ou Mann-Whitney pour deux ´ echantillons ind´ ependants
Descriptif du test : Le test de Wilcoxon ou test des rangs est un test
non param´ etrique qui teste l’´ egalit´ e de deux distributions (not´ ees F 1 et
F 2 ). Les hypoth` eses du test sont : H 0 : F 1 = F 2 versus H 1 : F 1
>
<
F 2 . Le
principe du test est le suivant : on trie les valeurs des deux s´ eries mises
en commun dans le sens croissant, on attribue le rang 1 ` a la plus petite
valeur, le rang 2 `
a la valeur suivante et ainsi de suite. On calcule ensuite le score de chacune des s´ eries en sommant les rangs obtenus pour
chacune d’elles. `
A l’aide d’une table ad´ equate, on d´ ecide si ces scores
sont compatibles avec l’hypoth` ese H 0 d’´ egalit´ e des distributions. Par
convention, la statistique de test S est le score de l’´ echantillon qui a le
plus petit effectif. On utilise aussi parfois la statistique W = S −
n 0 (n 0 +1)
2
.
Conditions de validit´ e : Dans le cas o` u n 0 = min(n 1 , n 2 ) ≤ 10, la statistique W ne suit pas une loi usuelle, mais on trouve les probabilit´ es
correspondantes dans la table de Mann-Whitney/Wilcoxon (fonction
pwilcox()).
Dans le cas o` u min(n 1 , n 2 ) ≥ 10, on peut consid´ erer que
W ∼ N
μ W =
n 1 n 2
2 ; σ
2
W = n 1 n 2
n 1 +n 2 +1
12
. Dans le cas d’ex æquo parmi les
rangs, on utilisera aussi une approximation normale, mais avec
σ
2
W =
n 1 n 2
12 ×
(n 1 + n 2 + 1) −
g
j=1
t
3
j −t j
(n 1 +n 2 )(n 1 +n 2 −1)
o` u g est le nombre de
groupes d’ex æquo et t j le nombre de rangs ex æquo dans le groupe j.
Instruction R : Il est possible d’utiliser la fonction wilcox.test(). On
utilisera le param` etre exact=FALSE pour le calcul approch´ e par la loi
normale.
Exemple d’application : On se r´ ef` ere au jeu de donn´ ees INTIMA.MEDIA et l’on se demande cette fois-ci si les hommes qui fument sont plus
vieux que les hommes qui ont arrˆ et´ e de fumer. Dans cet ´ echantillon, il
y a neuf fumeurs et douze anciens fumeurs.
> wilcox.test(AGE[SEXE==1&tabac==2],AGE[SEXE==1&tabac==1],
+
exact=FALSE,alternative="greater")
Wilcoxon rank sum test with continuity correction
data: AGE[SEXE == 1 & tabac == 2] and AGE[SEXE == 1 &
tabac == 1]
W = 88.5, p-value = 0.007756
alternative hypothesis: true location shift is greater
than 0
On peut donc conclure, avec un risque de se tromper de 5 %, que les
hommes qui fument sont plus vieux que les hommes qui ont arrˆ et´ e.