Chapitre 11. Intervalles de confiance et tests d’hypoth` eses
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11.3.1.4 Tests de coefficient de corr´ elation
• Comparaison d’un coefficient de corr´ elation th´ eorique ` a une valeur de r´ ef´ erence (cas ` a un ´ echantillon)
Descriptif du test : Soit ρ le coefficient de corr´ elation entre deux variables quantitatives X et Y. On souhaite tester les hypoth` eses H 0 : ρ =
ρ 0 versus H 1 : ρ
>
<
ρ 0 . La statistique de test sous H 0 est :
U =
Z − μ Z
σ Z
∼ N(0, 1)
avec Z =
1
2 ln
1+ ˆ
ρ
1− ˆ
ρ
, μ Z =
1
2 ln
1 + ρ 0
1 − ρ 0
, σ
2
Z
=
1
n − 3
.
Dans le cas o` u l’on s’int´ eresse ` a l’association lin´ eaire entre X et Y (test´ ee
en prenant ρ 0 = 0), la statistique de test alors utilis´ ee sous H 0 est :
T =
ˆ
ρ
√
n − 2
√
1 − R 2
∼ T (n − 2).
Conditions de validit´ e : Le couple (X, Y) suit une loi binormale.
Instruction R : Il est possible d’utiliser la fonction cor.test() dans
le cas o` u l’on teste l’association lin´ eaire entre X et Y. Sinon, pour une
valeur autre que ρ 0 = 0, on peut utiliser la fonction cor0.test() disponible dans le package associ´ e `
a ce livre.
Exemple d’application : Dans le jeu de donn´ ees IMC.ENFANT, on
s’int´ eresse ` a l’association lin´ eaire entre la taille et le poids.
> cor.test(poids,taille)
Pearson’s product-moment correlation
data: poids and taille
t = 13.4327, df = 150, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.6570527 0.8036174
sample estimates:
cor
0.7389562
On peut donc conclure, avec un risque d’erreur inf´ erieur ou ´ egal `
a 5 %,
qu’il y a une association lin´ eaire entre la taille et le poids.
• Comparaison de deux coefficients de corr´ elation th´ eoriques (cas
` a deux ´ echantillons)
Descriptif du test : On dispose de deux populations ind´ ependantes. On
note ρ 1 le coefficient de corr´ elation entre X et Y dans la population 1,
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11.3.1.4 Tests de coefficient de corr´ elation
• Comparaison d’un coefficient de corr´ elation th´ eorique ` a une valeur de r´ ef´ erence (cas ` a un ´ echantillon)
Descriptif du test : Soit ρ le coefficient de corr´ elation entre deux variables quantitatives X et Y. On souhaite tester les hypoth` eses H 0 : ρ =
ρ 0 versus H 1 : ρ
>
<
ρ 0 . La statistique de test sous H 0 est :
U =
Z − μ Z
σ Z
∼ N(0, 1)
avec Z =
1
2 ln
1+ ˆ
ρ
1− ˆ
ρ
, μ Z =
1
2 ln
1 + ρ 0
1 − ρ 0
, σ
2
Z
=
1
n − 3
.
Dans le cas o` u l’on s’int´ eresse ` a l’association lin´ eaire entre X et Y (test´ ee
en prenant ρ 0 = 0), la statistique de test alors utilis´ ee sous H 0 est :
T =
ˆ
ρ
√
n − 2
√
1 − R 2
∼ T (n − 2).
Conditions de validit´ e : Le couple (X, Y) suit une loi binormale.
Instruction R : Il est possible d’utiliser la fonction cor.test() dans
le cas o` u l’on teste l’association lin´ eaire entre X et Y. Sinon, pour une
valeur autre que ρ 0 = 0, on peut utiliser la fonction cor0.test() disponible dans le package associ´ e `
a ce livre.
Exemple d’application : Dans le jeu de donn´ ees IMC.ENFANT, on
s’int´ eresse ` a l’association lin´ eaire entre la taille et le poids.
> cor.test(poids,taille)
Pearson’s product-moment correlation
data: poids and taille
t = 13.4327, df = 150, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.6570527 0.8036174
sample estimates:
cor
0.7389562
On peut donc conclure, avec un risque d’erreur inf´ erieur ou ´ egal `
a 5 %,
qu’il y a une association lin´ eaire entre la taille et le poids.
• Comparaison de deux coefficients de corr´ elation th´ eoriques (cas
` a deux ´ echantillons)
Descriptif du test : On dispose de deux populations ind´ ependantes. On
note ρ 1 le coefficient de corr´ elation entre X et Y dans la population 1,