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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
Expert
Mˆ eme si nous pr´ ef´ erons notre approche des tests d’hypoth` eses qui met
l’accent sur l’assertion d’int´ erˆ et H 1 , nous pr´ esentons ici une petite originalit´ e math´ ematique justifiant l’utilisation par certains auteurs (souvent
des math´ ematiciens) de la notation H 0 pour d´ esigner non-H 1 . Cela a un
sens d’un point de vue math´ ematique puisque la logique d’un test d’hypoth` eses est semblable ` a un raisonnement par contradiction. Consid´ erons ainsi
l’exemple volontairement simpliste o` u l’on cherche ` a montrer H 1 : μ X > μ 0
sur la base d’un ´ echantillon X n = (X 1 , . . . , X n ) de v.a. i.i.d. de lois N(μ X , 1).
(1) Raisonnons par contradiction et supposons que notre hypoth` ese H 1
soit fausse. Nous sommes alors dans le cas contraire de H 1 qui est
not´ e ici H 0 : μ X ≤ μ 0 . On est par exemple dans la situation o` u μ X = ˜
μ
pour une certaine valeur ˜
μ inf´ erieure ou ´ egale ` a μ 0 .
(2) On cherche alors ` a mesurer la plausibilit´ e de l’hypoth` ese de contradiction H 0 , et pour cela on veut ´ evaluer la n´ egativit´ e de l’´ ecart inconnu
d = μ X − μ 0 qui est estim´ e par la statistique de test T = ˆ
μ X − μ 0 =
T + ( ˜
μ − μ 0 ), o` u
T =
ˆ
μ X − ˜
μ
∼ N (0, 1/n).
(3) Les donn´ ees, qui portent l’information sur la valeur de μ X puisqu’elles
ont ´ et´ e g´ en´ er´ ees suivant une loi ayant cette esp´ erance, fournissent une
r´ ealisation t obs de cette statistique T. Si H 0 ´ etait vraie, alors la variable
al´ eatoire T = ˆ
μ X − μ 0 , qui mesure l’´ ecart entre μ X et μ 0 , aurait peu de
chances de produire de grandes valeurs. Ainsi :
p(˜ μ) := P μ X = ˜
μ [T ≥ t obs ]
=
P μ X = ˜
μ [
T + ˜
μ − μ 0 ≥ t obs ]
=
P μ X = ˜
μ [
T ≥ t obs − (˜ μ − μ 0 )]
d’apr` es (1)
≤
P μ X = ˜
μ [
T ≥ t obs ] := ˜
p
(ind´ ependant de ˜
μ ici).
Notez que p(˜ μ) (dont on ne connaˆ ıt pas la valeur num´ erique) peut
ˆ etre vue comme une extension de la valeur-p pour la situation ˜
μ et
˜
p n’est qu’un majorant calculable qui sert `
a contrˆ oler cette valeur-p
´ etendue. Si la valeur ˜
p = P [N (0, 1/n) > t obs ] obtenue est tr` es petite
(et donc la probabilit´ e p(˜ μ) l’est encore plus), on arrive alors ` a une
(quasi) contradiction puisque l’´ ev´ enement {T ≥ t obs } de probabilit´ e
p(˜ μ) s’est effectivement produit alors que nous ne l’attendions (quasiment) pas sous H 0 . Par contradiction, notre hypoth` ese H 1 est donc
tr` es certainement vraie et ˜
p (plus petit majorant des p(˜ μ), ˜
μ ≤ μ 0 , qui
est d’ailleurs atteint lorsque ˜
μ = μ 0 ) exprime ainsi la force de contradiction (ou de conviction) de non-H 1 ou la force de la d´ ecision de H 1
(ou risque de se tromper en d´ ecidant H 1 ). La probabilit´ e ˜
p n’est rien
d’autre que la valeur-p que nous avions d´ efinie hors de cet encadr´ e.
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Expert
Mˆ eme si nous pr´ ef´ erons notre approche des tests d’hypoth` eses qui met
l’accent sur l’assertion d’int´ erˆ et H 1 , nous pr´ esentons ici une petite originalit´ e math´ ematique justifiant l’utilisation par certains auteurs (souvent
des math´ ematiciens) de la notation H 0 pour d´ esigner non-H 1 . Cela a un
sens d’un point de vue math´ ematique puisque la logique d’un test d’hypoth` eses est semblable ` a un raisonnement par contradiction. Consid´ erons ainsi
l’exemple volontairement simpliste o` u l’on cherche ` a montrer H 1 : μ X > μ 0
sur la base d’un ´ echantillon X n = (X 1 , . . . , X n ) de v.a. i.i.d. de lois N(μ X , 1).
(1) Raisonnons par contradiction et supposons que notre hypoth` ese H 1
soit fausse. Nous sommes alors dans le cas contraire de H 1 qui est
not´ e ici H 0 : μ X ≤ μ 0 . On est par exemple dans la situation o` u μ X = ˜
μ
pour une certaine valeur ˜
μ inf´ erieure ou ´ egale ` a μ 0 .
(2) On cherche alors ` a mesurer la plausibilit´ e de l’hypoth` ese de contradiction H 0 , et pour cela on veut ´ evaluer la n´ egativit´ e de l’´ ecart inconnu
d = μ X − μ 0 qui est estim´ e par la statistique de test T = ˆ
μ X − μ 0 =
T + ( ˜
μ − μ 0 ), o` u
T =
ˆ
μ X − ˜
μ
∼ N (0, 1/n).
(3) Les donn´ ees, qui portent l’information sur la valeur de μ X puisqu’elles
ont ´ et´ e g´ en´ er´ ees suivant une loi ayant cette esp´ erance, fournissent une
r´ ealisation t obs de cette statistique T. Si H 0 ´ etait vraie, alors la variable
al´ eatoire T = ˆ
μ X − μ 0 , qui mesure l’´ ecart entre μ X et μ 0 , aurait peu de
chances de produire de grandes valeurs. Ainsi :
p(˜ μ) := P μ X = ˜
μ [T ≥ t obs ]
=
P μ X = ˜
μ [
T + ˜
μ − μ 0 ≥ t obs ]
=
P μ X = ˜
μ [
T ≥ t obs − (˜ μ − μ 0 )]
d’apr` es (1)
≤
P μ X = ˜
μ [
T ≥ t obs ] := ˜
p
(ind´ ependant de ˜
μ ici).
Notez que p(˜ μ) (dont on ne connaˆ ıt pas la valeur num´ erique) peut
ˆ etre vue comme une extension de la valeur-p pour la situation ˜
μ et
˜
p n’est qu’un majorant calculable qui sert `
a contrˆ oler cette valeur-p
´ etendue. Si la valeur ˜
p = P [N (0, 1/n) > t obs ] obtenue est tr` es petite
(et donc la probabilit´ e p(˜ μ) l’est encore plus), on arrive alors ` a une
(quasi) contradiction puisque l’´ ev´ enement {T ≥ t obs } de probabilit´ e
p(˜ μ) s’est effectivement produit alors que nous ne l’attendions (quasiment) pas sous H 0 . Par contradiction, notre hypoth` ese H 1 est donc
tr` es certainement vraie et ˜
p (plus petit majorant des p(˜ μ), ˜
μ ≤ μ 0 , qui
est d’ailleurs atteint lorsque ˜
μ = μ 0 ) exprime ainsi la force de contradiction (ou de conviction) de non-H 1 ou la force de la d´ ecision de H 1
(ou risque de se tromper en d´ ecidant H 1 ). La probabilit´ e ˜
p n’est rien
d’autre que la valeur-p que nous avions d´ efinie hors de cet encadr´ e.