Chapitre 10. Variables al´ eatoires, lois et simulations
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B- ´
Etude sur la loi generalized Pareto
Soit X une variable al´ eatoire de loi generalized Pareto GP(μ, σ, ξ). La densit´ e
de cette loi est
f X (x) =
1
σ
1 +
ξ(x − μ)
σ
−
1
ξ −1
avec
x ≥ μ si ξ ≥ 0
et
x ≤ μ − σ/ξ si ξ < 0.
On donne
E(X) = μ +
σ
1 − ξ
(ξ < 1)
et
Var(X) =
σ
2
(1 − ξ) 2 (1 − 2ξ)
(ξ < 1/2).
On peut simuler X au moyen de la formule suivante :
X = μ +
σ(U
−ξ
− 1)
ξ
o` u U est une variable al´ eatoire de loi uniforme sur [0, 1].
10.1- Proposez le code R d’une fonction permettant de g´ en´ erer un ´ echantillon
de taille n d’une loi GP(μ, σ, ξ). Vous devez fournir un code source utilisant
les variables suivantes : n, mu, sigma et xi.
10.2- Simulez un ´ echantillon de taille n = 1 000 d’une loi GP(0, 1, 1/4).
10.3- Calculez-en les moyennes et variances empiriques.
10.4- Comparez avec les valeurs th´ eoriques.
10.5- Recommencez les questions de 2 ` a 3 avec n = 10 000.
10.6- Tracez en rouge l’histogramme en densit´ e de l’´ echantillon obtenu. Vous
prendrez 500 classes ´ equidistantes et limiterez l’affichage de l’histogramme
` a l’intervalle [0, 10] sur l’axe des abscisses.
10.7- Superposez ` a cet histogramme la courbe de densit´ e de la GP(0, 1, 1/4) (en
bleu). Constatez que la courbe s’ajuste bien ` a l’histogramme.
C- Uniforme sur un carr´ e
10.1- Simulez 1 000 observations de (X 1 , X 2 ) suivant la loi uniforme sur le carr´ e
[0, 1] × [0, 1].
10.2- Obtenez une approximation de la probabilit´ e que la distance de (X 1 , X 2 )
au cˆ ot´ e le plus proche soit inf´ erieure `
a 0.25.
10.3- Mˆ eme question pour la distance au sommet le plus proche.