Chapitre 10. Variables al´ eatoires, lois et simulations
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[146] 2 1 1 0 3 2 0 0 0 1 0 0 1 3 0 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2 2
[175] 4 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 1 1 2 2 0 1 2
[204] 2 0 2 2 4 1 2 2 2 2 1 0 2 2 1 2 0 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 1 1
[233] 2 0 2 1 2 1 2 2 1 1 1 0 1 2 0 2 2 2 0 2 1 0 0 2 1 1 0 2 3
[262] 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 4 2 0 2 4 2 2 2 0 0 4 0 3 0 3 3 1 2 2
[291] 2 3 2 4 1 1 3 0 1 0 1 0 1 1 2 2 0 1 0 2 0 1 2 1 2 0 0 0 0
[320] 1 2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 1 1 2 0 0 2 1 2 0 3 0 2 1 0 1 0 2 2
[349] 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0 2 1 1 2 3 3 1 1 0 1 1 2
[378] 1 1 0 1 1 2 2 1 1 0 1 0 0 1 2 0 2 0 2 0 1 0 3 2 2 1 2 3 1
[407] 2 0 0 1 2 2 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 2 1 3 0 5 2 2 0 0 2 0 1
[436] 0 1 1 0 2 1 4 1 0 2 1 1 3 1 0 2 3 1 0 3 1 2 1 3 0 1 0 0 1
[465] 1 1 1 4 2 1 2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 2 1 2 3 2 2 2 1 1 1 1
[494] 1 1 1 1 1 2 1
`
A la vue de ces donn´ ees, le statisticien va tenter de d´ ecrire (de fa¸ con math´ ematique) le processus de g´ en´ eration qui a conduit ` a la production de ces
valeurs. Les valeurs observ´ ees semblent surgir de fa¸ con impr´ evisible, et il apparaˆ ıt difficile de trouver une suite logique (et d´ eterministe) pouvant les expliquer.
Mais peut-on tenter de les d´ ecrire ?
La statistique inf´ erentielle inductive permet de remonter des faits observ´ es sur l’´ echantillon ` a la loi de probabilit´ e dans la population. Pour cela, le
statisticien va par exemple consid´ erer, dans une premi` ere approche simplifi´ ee,
que chacune des observations ci-dessus est la r´ ealisation d’une mˆ eme variable
al´ eatoire X et que ces observations sont produites ind´ ependamment les unes
des autres. C’est ce qu’il traduit dans son langage math´ ematique par « Soit
x n = (x 1 , . . . , x n ) un ´ echantillon (observ´ e) du vecteur al´ eatoire X n = (X 1 , . . . , X n )
constitu´ e de n = 500 variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees (i.i.d.) ». En proc´ edant de la sorte, il suppose donc que « M` ere Nature »
d´ etient un g´ en´ erateur de nombres al´ eatoires X qui est connu d’elle seule et que
le statisticien ne connaˆ ıt ´ evidemment pas. Et le but du jeu pour le statisticien
est de tenter de deviner, dans la mesure du possible, quel est ce g´ en´ erateur.
C’est ce que l’on appelle faire de la mod´ elisation statistique.
Il va alors fouiller dans son arsenal de mod` eles et commencer par choisir
celui qui lui paraˆ ıt le plus simple (principe de parcimonie) et le plus ad´ equat.
Les variables al´ eatoires en jeu ´ etant discr` etes, il a par exemple `
a sa disposition
les mod` eles probabilistes suivants :
– la loi binomiale Bin(m, α) ;
– la loi de Poisson P(λ) ;
– etc.
Compte tenu des observations (nombres compris entre 0 et 4), le choix d’une
loi binomiale s’impose.
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[146] 2 1 1 0 3 2 0 0 0 1 0 0 1 3 0 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2 2
[175] 4 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 1 1 2 2 0 1 2
[204] 2 0 2 2 4 1 2 2 2 2 1 0 2 2 1 2 0 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 1 1
[233] 2 0 2 1 2 1 2 2 1 1 1 0 1 2 0 2 2 2 0 2 1 0 0 2 1 1 0 2 3
[262] 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 4 2 0 2 4 2 2 2 0 0 4 0 3 0 3 3 1 2 2
[291] 2 3 2 4 1 1 3 0 1 0 1 0 1 1 2 2 0 1 0 2 0 1 2 1 2 0 0 0 0
[320] 1 2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 1 1 2 0 0 2 1 2 0 3 0 2 1 0 1 0 2 2
[349] 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0 2 1 1 2 3 3 1 1 0 1 1 2
[378] 1 1 0 1 1 2 2 1 1 0 1 0 0 1 2 0 2 0 2 0 1 0 3 2 2 1 2 3 1
[407] 2 0 0 1 2 2 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 2 1 3 0 5 2 2 0 0 2 0 1
[436] 0 1 1 0 2 1 4 1 0 2 1 1 3 1 0 2 3 1 0 3 1 2 1 3 0 1 0 0 1
[465] 1 1 1 4 2 1 2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 2 1 2 3 2 2 2 1 1 1 1
[494] 1 1 1 1 1 2 1
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A la vue de ces donn´ ees, le statisticien va tenter de d´ ecrire (de fa¸ con math´ ematique) le processus de g´ en´ eration qui a conduit ` a la production de ces
valeurs. Les valeurs observ´ ees semblent surgir de fa¸ con impr´ evisible, et il apparaˆ ıt difficile de trouver une suite logique (et d´ eterministe) pouvant les expliquer.
Mais peut-on tenter de les d´ ecrire ?
La statistique inf´ erentielle inductive permet de remonter des faits observ´ es sur l’´ echantillon ` a la loi de probabilit´ e dans la population. Pour cela, le
statisticien va par exemple consid´ erer, dans une premi` ere approche simplifi´ ee,
que chacune des observations ci-dessus est la r´ ealisation d’une mˆ eme variable
al´ eatoire X et que ces observations sont produites ind´ ependamment les unes
des autres. C’est ce qu’il traduit dans son langage math´ ematique par « Soit
x n = (x 1 , . . . , x n ) un ´ echantillon (observ´ e) du vecteur al´ eatoire X n = (X 1 , . . . , X n )
constitu´ e de n = 500 variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees (i.i.d.) ». En proc´ edant de la sorte, il suppose donc que « M` ere Nature »
d´ etient un g´ en´ erateur de nombres al´ eatoires X qui est connu d’elle seule et que
le statisticien ne connaˆ ıt ´ evidemment pas. Et le but du jeu pour le statisticien
est de tenter de deviner, dans la mesure du possible, quel est ce g´ en´ erateur.
C’est ce que l’on appelle faire de la mod´ elisation statistique.
Il va alors fouiller dans son arsenal de mod` eles et commencer par choisir
celui qui lui paraˆ ıt le plus simple (principe de parcimonie) et le plus ad´ equat.
Les variables al´ eatoires en jeu ´ etant discr` etes, il a par exemple `
a sa disposition
les mod` eles probabilistes suivants :
– la loi binomiale Bin(m, α) ;
– la loi de Poisson P(λ) ;
– etc.
Compte tenu des observations (nombres compris entre 0 et 4), le choix d’une
loi binomiale s’impose.