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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
Table 10.4 – Lois moins usuelles (notations : U ∼ U(0.1), Z ∼ N(0, 1),
Z μ ∼ N(μ, 1), V d ∼ N(0, d), E ∼ E(1), B p ∼ Bernoulli(p), G p ∼ Gamma(1/p, p),
F
−1
λ (p) = p
λ
− (1 − p)
λ , Θ = π(U −
1
2 ), Θ β =
π
2 + βΘ).
Loi
Densit´ e
G´ en´ eration
Esp´ erance
Variance
S N(ξ, ω 2 , α)
2
ω
√
2π
e
− (x−ξ) 2
2ω 2
α
x−ξ
ω
−∞
e
− t 2
2
√
2π
dt
X = ξ + ωY
ξ + ω
√
2/πδ
Y = W si Z0 ≥ 0; −W sinon
W = δZ0 +
√
1 − δ 2 V1
ω 2 (1 − 2δ 2 /π)
δ = α/
√
1 + α 2
Lp(μ, b)
1
2b exp
−
|x−μ|
b
X = μ − b.sgn{U −
1
2 } ln(1 − 2|U −
1
2 |)
μ
2b 2
S E(l, b)
b exp{−(x − l)b}, x ≥ l
X =
− ln U
b
+ l
l +
1
b
1
b 2
GP(μ, σ, ξ)
1
σ
1 +
ξ(x−μ)
σ
(− 1
ξ −1)
X = μ +
σ(U
−ξ −1)
ξ
μ +
σ
1−ξ (ξ < 1)
x ≥ μ si ξ ≥ 0
x ≤ μ −
σ
ξ si ξ < 0
σ 2
(1−ξ) 2 (1−2ξ)
, (ξ <
1
2 )
GED(μ, σ, p)
1
2p 1/p Γ(1+1/p)σ
e
− 1
pσ p |x−μ| p
μ + σG
1/p
p sgn(U − 1/2)
μ
JS U(μ, σ, ν, τ)
1
cσ
τ
√
z 2 +1
1
√
2π
e −r 2 /2
X = μ + cσ×
μ
r = −ν + τ sinh
−1 (z)
z =
x−(μ+cσ
√
w sinh(Ω)
cσ
√
w sinh(Ω) + sinh
Z0+ν
τ
c =
√
((w − 1)(w cosh(2Ω) + 1)/2)
σ 2
w = e 1/(τ 2 ) et Ω = −ν/τ
TU(λ)
1
Fλ(x) λ−1 +(1−Fλ(x)) λ−1
X = U
λ − (1 − U) λ
0
2
2λ+1 − 2
Γ 2 (λ+1)
Γ(2λ+2)
S C(p, d)
1
√
2π
[
p
d e
− x 2
2d 2 + (1 − p)e
− x 2
2 ]
BpVd + (1 − Bp)Z0
0
pd 2 + 1 − p
LC(p, m)
1
√
2π
[pe
− (x−m) 2
2
+ (1 − p)e
− x 2
2 ]
BpZμ + (1 − Bp)Z0
mp
1 − (mp) 2
S B(g, d)
d
√
2π
1
x(1−x) e
− 1
2
g+d log x
1−x
2
, d > 0
X =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝1 + e
−
Z 0 −g
d
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
−1
Pas d’expression explicite
S (α, β)
θ0 = −
π
2 β(α − 1 + sgn(1 − α))/α
Non d´ efinie si α ≤ 1
avec
X1 = sin{α(Θ − θ0)}
0 si 1 < α ≤ 2
−1 ≤ β ≤ 1
X2 = {cos(Θ)} 1/α
0 < α ≤ 2
Pas de forme analytique
X3 =
cos{(α−1)Θ−αθ0}
E
1−α
α
Si α 1 : X = (X1/X2)(X3), sinon :
Non d´ efinie
X = Θβ tan Θ − β log
E cos Θ
Θβ
SECTION 10.8
Mod´ elisation d’un ph´ enom` ene
Supposons que l’on observe uniquement les n = 500 valeurs suivantes produites par un certain ph´ enom` ene ´ etudi´ e.
> xvec
[1] 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
[30] 1 1 0 0 3 1 2 2 3 2 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 2 1 3 1 1 0 1 1 1
[59] 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1 1 3 1 0 2 1 0 1 0 0 2
[88] 1 0 0 1 2 1 1 1 2 1 1 2 0 1 0 1 1 3 2 3 1 2 1 2 2 0 1 2 3
[117] 1 2 1 2 0 1 1 1 0 0 2 1 2 3 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 0 3 0
Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
Table 10.4 – Lois moins usuelles (notations : U ∼ U(0.1), Z ∼ N(0, 1),
Z μ ∼ N(μ, 1), V d ∼ N(0, d), E ∼ E(1), B p ∼ Bernoulli(p), G p ∼ Gamma(1/p, p),
F
−1
λ (p) = p
λ
− (1 − p)
λ , Θ = π(U −
1
2 ), Θ β =
π
2 + βΘ).
Loi
Densit´ e
G´ en´ eration
Esp´ erance
Variance
S N(ξ, ω 2 , α)
2
ω
√
2π
e
− (x−ξ) 2
2ω 2
α
x−ξ
ω
−∞
e
− t 2
2
√
2π
dt
X = ξ + ωY
ξ + ω
√
2/πδ
Y = W si Z0 ≥ 0; −W sinon
W = δZ0 +
√
1 − δ 2 V1
ω 2 (1 − 2δ 2 /π)
δ = α/
√
1 + α 2
Lp(μ, b)
1
2b exp
−
|x−μ|
b
X = μ − b.sgn{U −
1
2 } ln(1 − 2|U −
1
2 |)
μ
2b 2
S E(l, b)
b exp{−(x − l)b}, x ≥ l
X =
− ln U
b
+ l
l +
1
b
1
b 2
GP(μ, σ, ξ)
1
σ
1 +
ξ(x−μ)
σ
(− 1
ξ −1)
X = μ +
σ(U
−ξ −1)
ξ
μ +
σ
1−ξ (ξ < 1)
x ≥ μ si ξ ≥ 0
x ≤ μ −
σ
ξ si ξ < 0
σ 2
(1−ξ) 2 (1−2ξ)
, (ξ <
1
2 )
GED(μ, σ, p)
1
2p 1/p Γ(1+1/p)σ
e
− 1
pσ p |x−μ| p
μ + σG
1/p
p sgn(U − 1/2)
μ
JS U(μ, σ, ν, τ)
1
cσ
τ
√
z 2 +1
1
√
2π
e −r 2 /2
X = μ + cσ×
μ
r = −ν + τ sinh
−1 (z)
z =
x−(μ+cσ
√
w sinh(Ω)
cσ
√
w sinh(Ω) + sinh
Z0+ν
τ
c =
√
((w − 1)(w cosh(2Ω) + 1)/2)
σ 2
w = e 1/(τ 2 ) et Ω = −ν/τ
TU(λ)
1
Fλ(x) λ−1 +(1−Fλ(x)) λ−1
X = U
λ − (1 − U) λ
0
2
2λ+1 − 2
Γ 2 (λ+1)
Γ(2λ+2)
S C(p, d)
1
√
2π
[
p
d e
− x 2
2d 2 + (1 − p)e
− x 2
2 ]
BpVd + (1 − Bp)Z0
0
pd 2 + 1 − p
LC(p, m)
1
√
2π
[pe
− (x−m) 2
2
+ (1 − p)e
− x 2
2 ]
BpZμ + (1 − Bp)Z0
mp
1 − (mp) 2
S B(g, d)
d
√
2π
1
x(1−x) e
− 1
2
g+d log x
1−x
2
, d > 0
X =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝1 + e
−
Z 0 −g
d
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
−1
Pas d’expression explicite
S (α, β)
θ0 = −
π
2 β(α − 1 + sgn(1 − α))/α
Non d´ efinie si α ≤ 1
avec
X1 = sin{α(Θ − θ0)}
0 si 1 < α ≤ 2
−1 ≤ β ≤ 1
X2 = {cos(Θ)} 1/α
0 < α ≤ 2
Pas de forme analytique
X3 =
cos{(α−1)Θ−αθ0}
E
1−α
α
Si α 1 : X = (X1/X2)(X3), sinon :
Non d´ efinie
X = Θβ tan Θ − β log
E cos Θ
Θβ
SECTION 10.8
Mod´ elisation d’un ph´ enom` ene
Supposons que l’on observe uniquement les n = 500 valeurs suivantes produites par un certain ph´ enom` ene ´ etudi´ e.
> xvec
[1] 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
[30] 1 1 0 0 3 1 2 2 3 2 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 2 1 3 1 1 0 1 1 1
[59] 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1 1 3 1 0 2 1 0 1 0 0 2
[88] 1 0 0 1 2 1 1 1 2 1 1 2 0 1 0 1 1 3 2 3 1 2 1 2 2 0 1 2 3
[117] 1 2 1 2 0 1 1 1 0 0 2 1 2 3 2 0 2 0 1 1 2 2 0 1 2 0 0 3 0