Chapitre 10. Variables al´ eatoires, lois et simulations
439
10.7.2 † Lois moins usuelles
Nous fournissons dans les tableaux ci-dessous les formules permettant de
g´ en´ erer un ´ echantillon de quelques lois moins classiques.
Le tableau 10.3 pr´ esente les lois suivantes : Rademacher Rad, Irwin-Hall
Irw(n), Kumaraswamy Kum(a, b), gaussienne inverse GI(μ, λ), L´ evy Levy(c),
Log-logistique Log-Logis(α, β), Rayleigh Ray(σ
2 ), Rice Rice(σ, ν), multinomiale
M(n, p 1 , . . . , p k ).
Table 10.3 – Lois moins usuelles (notations : B 1/2 ∼ Bernoulli(1/2), Y 1,b ∼
Beta(1, b), Z ∼ N(0, 1), U k , U ∼ U(0, 1), G(α, β) ∼ Gamma(α, β), L 1/2 (x) =
e
x/2
(1 − x)I 0
−x
2
− xI 1
−x
2
, I α (·) : fonctions de Bessel modifi´ ees, B(α, β) : fonction bˆ eta).
Loi
Densit´ e
G´ en´ eration
Esp´ erance
Variance
Rad
1/2 si k = ±1
2B 1/2 − 1
0
1
Irw(n)
1
2(n−1)!
n
k=0 (−1) k
n
k
n
k=1 U k
n/2
×(x − k) n−1 sgn(x − k)
n/12
Kum(a, b)
abx a−1 (1 − x a ) b−1
X a,b = Y
1/a
1,b
bB(1 + 1/a, b)
bB(1 +
2
a , b) − b 2 B 2 (1 +
1
a , b)
GI(μ, λ)
λ
2πx 3
1/2 exp
−λ(x−μ) 2
2μ 2 x
X = μ +
μ 2
2λ
Z
2 −
|Z|
μ
4μλ + μ 2 Z
2
μ
X si U ≤
μ
μ+X
, sinon
μ 2
X
μ 3
λ
Levy(c)
c
2π
e −c/2x
x 3/2
X =
1
G(1/2,c/2)
∞
∞
Log-Logis(α, β)
(β/α)(x/α) β−1
[1+(x/α) β ] 2
X = exp(Logistic(log(α), β))
απ/β
sin(π/β) si β > 1
α 2 (
2b
sin 2b −
b 2
sin 2 b)
si β > 2
Ray(σ 2 )
x
σ 2 exp
−x 2
2σ 2
X = σ
−2 log(U)
σ
π
2
4−π
2 σ 2
Rice(σ, ν)
x
σ 2 exp
−(x 2 +ν 2 )
2σ 2
I 0
xν
σ 2
R =
X
2 + Y
2 avec
σ
√
π/2L 1/2 (−ν 2 /2σ 2 )
X ∼ N(1, σ 2 ) et Y ∼ N(0, σ 2 )
2σ 2 + ν 2 −
πσ 2
2 L 2
1/2
−ν 2
2σ 2
M(n, p 1 , . . . , p k )
n!
x 1 !···x k ! p
x 1
1 . . . p
x k
k
Y j = arg min
k
j =1
j
i=1 p i ≥ U
E(X i ) = p i
si
k
i=1 x i = n
X =
n
j=1 Y j (Y j i.i.d)
Var(X i ) = np i (1 − p i )
Le tableau 10.4 ci-apr` es donne les formules permettant de g´ en´ erer un ´ echantillon des autres lois moins classiques suivantes : skew-normale S N(ξ, ω
2
, α), Laplace Lp(μ, b), shifted exponentielle S E(l, b), generalized Pareto GP(μ, σ, ξ), generalized error distribution GED(μ, σ, p), Johnson SU JS U(μ, σ, ν, τ), symmetrical Tukey T U(l), scale contaminated S C(p, d), location contaminated LC(p, m),
Johnson SB S B(g, d), stable S (α, β).
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10.7.2 † Lois moins usuelles
Nous fournissons dans les tableaux ci-dessous les formules permettant de
g´ en´ erer un ´ echantillon de quelques lois moins classiques.
Le tableau 10.3 pr´ esente les lois suivantes : Rademacher Rad, Irwin-Hall
Irw(n), Kumaraswamy Kum(a, b), gaussienne inverse GI(μ, λ), L´ evy Levy(c),
Log-logistique Log-Logis(α, β), Rayleigh Ray(σ
2 ), Rice Rice(σ, ν), multinomiale
M(n, p 1 , . . . , p k ).
Table 10.3 – Lois moins usuelles (notations : B 1/2 ∼ Bernoulli(1/2), Y 1,b ∼
Beta(1, b), Z ∼ N(0, 1), U k , U ∼ U(0, 1), G(α, β) ∼ Gamma(α, β), L 1/2 (x) =
e
x/2
(1 − x)I 0
−x
2
− xI 1
−x
2
, I α (·) : fonctions de Bessel modifi´ ees, B(α, β) : fonction bˆ eta).
Loi
Densit´ e
G´ en´ eration
Esp´ erance
Variance
Rad
1/2 si k = ±1
2B 1/2 − 1
0
1
Irw(n)
1
2(n−1)!
n
k=0 (−1) k
n
k
n
k=1 U k
n/2
×(x − k) n−1 sgn(x − k)
n/12
Kum(a, b)
abx a−1 (1 − x a ) b−1
X a,b = Y
1/a
1,b
bB(1 + 1/a, b)
bB(1 +
2
a , b) − b 2 B 2 (1 +
1
a , b)
GI(μ, λ)
λ
2πx 3
1/2 exp
−λ(x−μ) 2
2μ 2 x
X = μ +
μ 2
2λ
Z
2 −
|Z|
μ
4μλ + μ 2 Z
2
μ
X si U ≤
μ
μ+X
, sinon
μ 2
X
μ 3
λ
Levy(c)
c
2π
e −c/2x
x 3/2
X =
1
G(1/2,c/2)
∞
∞
Log-Logis(α, β)
(β/α)(x/α) β−1
[1+(x/α) β ] 2
X = exp(Logistic(log(α), β))
απ/β
sin(π/β) si β > 1
α 2 (
2b
sin 2b −
b 2
sin 2 b)
si β > 2
Ray(σ 2 )
x
σ 2 exp
−x 2
2σ 2
X = σ
−2 log(U)
σ
π
2
4−π
2 σ 2
Rice(σ, ν)
x
σ 2 exp
−(x 2 +ν 2 )
2σ 2
I 0
xν
σ 2
R =
X
2 + Y
2 avec
σ
√
π/2L 1/2 (−ν 2 /2σ 2 )
X ∼ N(1, σ 2 ) et Y ∼ N(0, σ 2 )
2σ 2 + ν 2 −
πσ 2
2 L 2
1/2
−ν 2
2σ 2
M(n, p 1 , . . . , p k )
n!
x 1 !···x k ! p
x 1
1 . . . p
x k
k
Y j = arg min
k
j =1
j
i=1 p i ≥ U
E(X i ) = p i
si
k
i=1 x i = n
X =
n
j=1 Y j (Y j i.i.d)
Var(X i ) = np i (1 − p i )
Le tableau 10.4 ci-apr` es donne les formules permettant de g´ en´ erer un ´ echantillon des autres lois moins classiques suivantes : skew-normale S N(ξ, ω
2
, α), Laplace Lp(μ, b), shifted exponentielle S E(l, b), generalized Pareto GP(μ, σ, ξ), generalized error distribution GED(μ, σ, p), Johnson SU JS U(μ, σ, ν, τ), symmetrical Tukey T U(l), scale contaminated S C(p, d), location contaminated LC(p, m),
Johnson SB S B(g, d), stable S (α, β).