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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
Table 10.2 – Lois continues usuelles. Fonctions R pour la fonction de densit´ e
(d-), de r´ epartition (p-) et quantile (q-). Instruction pour g´ en´ erer (r-) des
nombres pseudo-al´ eatoires issus de ces lois (notations : B(·, ·) : fonction bˆ eta,
I(·) : fonction de Bessel modifi´ ee, Γ(·) : fonction gamma, P(·; λ) : fonction de
masse d’une Poisson(λ), I
x (·, ·) : d´ eriv´ ee de la fonction bˆ eta incompl` ete, sech(x) =
2
e x +e −x ).
Lois continues
Fonctions R
Esp´ erance
Densit´ e
Variance
Normale(μ, σ 2 )
dnorm(x,mean=μ,sd=σ)
μ
1
√
2πσ
e
− (x−μ) 2
2σ 2
pnorm(q,mean=μ,sd=σ)
qnorm(p,mean=μ,sd=σ)
σ 2
rnorm(n,mean=μ,sd=σ)
Student(ν, μ)
dt(x,df=ν,ncp=μ)
μ
ν
2
Γ((ν−1)/2)
Γ(ν/2)
ν ν/2 e −νμ 2 /2(x 2 +ν)
√
πΓ(ν/2)2 (ν−1)/2 (x 2 +ν) (ν+1)/2
pt(q,df=ν,ncp=μ)
(ν > 1)
qt(p,df=ν,ncp=μ)
ν(1+μ 2 )
ν−2 −
μ 2 ν
2 ×
×
∞
0
t ν e
μx
2
√
x 2 +ν
− t
2 dt
rt(n,df=ν,ncp=μ)
Γ((ν−1)/2)
Γ(ν/2)
, (ν > 2)
Khi-deux(k, λ)
dchisq(x,df=k,ncp=λ)
k + λ
1
2 e −(x+λ)/2
x
λ
k/4−1/2
pchisq(q,df=k,ncp=λ)
qchisq(p,df=k,ncp=λ)
2(k + 2λ)
×Ik/2−1(
√
λx)
rchisq(n,df=k,ncp=λ)
Fisher(ν1, ν2, λ)
df(x,df1=ν1,df2=ν2,ncp=λ)
ν2(ν1+λ)
ν1(ν2−2)
∞
k=0
e −λ/2 (λ/2) k
B
ν 2
2 ,
ν 1
2 +k
k!
ν1
ν2
ν 1
ν 2
+k
pf(q,df1=ν1,df2=ν2,ncp=λ)
(ν2 > 2)
qf(p,df1=ν1,df2=ν2,ncp=λ)
2
(ν1+λ) 2 +(ν1+2λ)(ν2−2)
(ν2−2) 2 (ν2−4)
×
ν2
ν2+ν1 x
ν 1 +ν 2
2 +k
x
ν 1
2 −1+k
rf(n,df1=ν1,df2=ν2,ncp=λ)
×
ν2
ν1
2
, (ν2 > 4)
Exponentielle(λ)
dexp(x,rate=λ)
1
λ
λe −λx 1{x ≥ 0}
pexp(q,rate=λ)
qexp(p,rate=λ)
1
λ 2
rexp(n,rate=λ)
Uniforme(a, b)
dunif(x,min=a,max=b)
a+b
2
1
b−a 1{a ≤ x ≤ b}
punif(q,min=a,max=b)
qunif(p,min=a,max=b)
(b−a) 2
12
runif(n,min=a,max=b)
Bˆ eta(α, β, λ)
dbeta(x,shape1=α,shape2=β,ncp=λ)
≈ 1 −
β
C
1 +
λ
2C 2
∞
i=0 P(i;
λ
2 )I
x (α + i, β)
pbeta(q,shape1=α,shape2=β,ncp=λ)
avec C = α + β +
λ
2
qbeta(p,shape1=α,shape2=β,ncp=λ)
αβ
(α+β) 2 (α+β+1)
si λ = 0
rbeta(n,shape1=α,shape2=β,ncp=λ)
Cauchy(x0, γ)
dcauchy(x,location=x0,scale=γ)
Non d´ efinie
1
π
γ
(x−x0) 2 +γ 2
pcauchy(q,location=x0,scale=γ)
qcauchy(p,location=x0,scale=γ)
Non d´ efinie
rcauchy(n,location=x0,scale=γ)
Logistique(μ, s)
dlogis(x,location=μ,scale=s)
μ
1
4s sech
2
x−μ
2s
plogis(q,location=μ,scale=s)
qlogis(p,location=μ,scale=s)
π 2
3 s 2
rlogis(n,location=μ,scale=s)
Log-Normale(μ, σ)
dlnorm(x,meanlog=μ,sdlog=σ)
e μ+σ 2 /2
1
xσ
√
2π
e
− (ln(x)−μ) 2
2σ 2
plnorm(q,meanlog=μ,sdlog=σ)
qlnorm(p,meanlog=μ,sdlog=σ)
(e σ 2 − 1)e 2μ+σ 2
rlnorm(n,meanlog=μ,sdlog=σ)
Gamma(α, β)
dgamma(x,shape=α,rate=β)
αβ
x α−1 e −x/β
β α Γ(α) 1x>0
pgamma(q,shape=α,rate=β)
qgamma(p,shape=α,rate=β)
αβ 2
rgamma(n,shape=α,rate=β)
Weibull(λ, k)
dweibull(x,shape=λ,scale=k)
λΓ
1 +
1
k
k
λ
x
λ
k−1
e −(x/λ) k 1x≥0
pweibull(q,shape=λ,scale=k)
qweibull(p,shape=λ,scale=k)
λ 2 Γ
1 +
2
k − μ 2
rweibull(n,shape=λ,scale=k)
Gumbel(μ, β)
dgumbel(x,loc=μ,scale=β)
μ + β
ze −z
β avec z = e
− x−μ
β
pgumbel(q,loc=μ,scale=β)
Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
Table 10.2 – Lois continues usuelles. Fonctions R pour la fonction de densit´ e
(d-), de r´ epartition (p-) et quantile (q-). Instruction pour g´ en´ erer (r-) des
nombres pseudo-al´ eatoires issus de ces lois (notations : B(·, ·) : fonction bˆ eta,
I(·) : fonction de Bessel modifi´ ee, Γ(·) : fonction gamma, P(·; λ) : fonction de
masse d’une Poisson(λ), I
x (·, ·) : d´ eriv´ ee de la fonction bˆ eta incompl` ete, sech(x) =
2
e x +e −x ).
Lois continues
Fonctions R
Esp´ erance
Densit´ e
Variance
Normale(μ, σ 2 )
dnorm(x,mean=μ,sd=σ)
μ
1
√
2πσ
e
− (x−μ) 2
2σ 2
pnorm(q,mean=μ,sd=σ)
qnorm(p,mean=μ,sd=σ)
σ 2
rnorm(n,mean=μ,sd=σ)
Student(ν, μ)
dt(x,df=ν,ncp=μ)
μ
ν
2
Γ((ν−1)/2)
Γ(ν/2)
ν ν/2 e −νμ 2 /2(x 2 +ν)
√
πΓ(ν/2)2 (ν−1)/2 (x 2 +ν) (ν+1)/2
pt(q,df=ν,ncp=μ)
(ν > 1)
qt(p,df=ν,ncp=μ)
ν(1+μ 2 )
ν−2 −
μ 2 ν
2 ×
×
∞
0
t ν e
μx
2
√
x 2 +ν
− t
2 dt
rt(n,df=ν,ncp=μ)
Γ((ν−1)/2)
Γ(ν/2)
, (ν > 2)
Khi-deux(k, λ)
dchisq(x,df=k,ncp=λ)
k + λ
1
2 e −(x+λ)/2
x
λ
k/4−1/2
pchisq(q,df=k,ncp=λ)
qchisq(p,df=k,ncp=λ)
2(k + 2λ)
×Ik/2−1(
√
λx)
rchisq(n,df=k,ncp=λ)
Fisher(ν1, ν2, λ)
df(x,df1=ν1,df2=ν2,ncp=λ)
ν2(ν1+λ)
ν1(ν2−2)
∞
k=0
e −λ/2 (λ/2) k
B
ν 2
2 ,
ν 1
2 +k
k!
ν1
ν2
ν 1
ν 2
+k
pf(q,df1=ν1,df2=ν2,ncp=λ)
(ν2 > 2)
qf(p,df1=ν1,df2=ν2,ncp=λ)
2
(ν1+λ) 2 +(ν1+2λ)(ν2−2)
(ν2−2) 2 (ν2−4)
×
ν2
ν2+ν1 x
ν 1 +ν 2
2 +k
x
ν 1
2 −1+k
rf(n,df1=ν1,df2=ν2,ncp=λ)
×
ν2
ν1
2
, (ν2 > 4)
Exponentielle(λ)
dexp(x,rate=λ)
1
λ
λe −λx 1{x ≥ 0}
pexp(q,rate=λ)
qexp(p,rate=λ)
1
λ 2
rexp(n,rate=λ)
Uniforme(a, b)
dunif(x,min=a,max=b)
a+b
2
1
b−a 1{a ≤ x ≤ b}
punif(q,min=a,max=b)
qunif(p,min=a,max=b)
(b−a) 2
12
runif(n,min=a,max=b)
Bˆ eta(α, β, λ)
dbeta(x,shape1=α,shape2=β,ncp=λ)
≈ 1 −
β
C
1 +
λ
2C 2
∞
i=0 P(i;
λ
2 )I
x (α + i, β)
pbeta(q,shape1=α,shape2=β,ncp=λ)
avec C = α + β +
λ
2
qbeta(p,shape1=α,shape2=β,ncp=λ)
αβ
(α+β) 2 (α+β+1)
si λ = 0
rbeta(n,shape1=α,shape2=β,ncp=λ)
Cauchy(x0, γ)
dcauchy(x,location=x0,scale=γ)
Non d´ efinie
1
π
γ
(x−x0) 2 +γ 2
pcauchy(q,location=x0,scale=γ)
qcauchy(p,location=x0,scale=γ)
Non d´ efinie
rcauchy(n,location=x0,scale=γ)
Logistique(μ, s)
dlogis(x,location=μ,scale=s)
μ
1
4s sech
2
x−μ
2s
plogis(q,location=μ,scale=s)
qlogis(p,location=μ,scale=s)
π 2
3 s 2
rlogis(n,location=μ,scale=s)
Log-Normale(μ, σ)
dlnorm(x,meanlog=μ,sdlog=σ)
e μ+σ 2 /2
1
xσ
√
2π
e
− (ln(x)−μ) 2
2σ 2
plnorm(q,meanlog=μ,sdlog=σ)
qlnorm(p,meanlog=μ,sdlog=σ)
(e σ 2 − 1)e 2μ+σ 2
rlnorm(n,meanlog=μ,sdlog=σ)
Gamma(α, β)
dgamma(x,shape=α,rate=β)
αβ
x α−1 e −x/β
β α Γ(α) 1x>0
pgamma(q,shape=α,rate=β)
qgamma(p,shape=α,rate=β)
αβ 2
rgamma(n,shape=α,rate=β)
Weibull(λ, k)
dweibull(x,shape=λ,scale=k)
λΓ
1 +
1
k
k
λ
x
λ
k−1
e −(x/λ) k 1x≥0
pweibull(q,shape=λ,scale=k)
qweibull(p,shape=λ,scale=k)
λ 2 Γ
1 +
2
k − μ 2
rweibull(n,shape=λ,scale=k)
Gumbel(μ, β)
dgumbel(x,loc=μ,scale=β)
μ + β
ze −z
β avec z = e
− x−μ
β
pgumbel(q,loc=μ,scale=β)