Chapitre 10. Variables al´ eatoires, lois et simulations
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– bien cerner le (cœur du) probl` eme ;
– d´ ecomposer le ph´ enom` ene ´ etudi´ e en une suite d’exp´ eriences plus simples,
simulables avec les outils math´ ematiques et informatiques dont on dispose ;
– ´ ecrire la trame d’un algorithme permettant de r´ esoudre le probl` eme ;
– transcrire cet algorithme dans un programme ´ ecrit dans un langage interpr´ et´ e comme R ;
– tester ce programme pour s’assurer qu’il fonctionne correctement ;
– transcrire (´ eventuellement) le programme en utilisant un langage de plus
bas niveau (compil´ e) comme C/C++ ou Fortran.
Toute simulation n´ ecessite d’ˆ etre en mesure de simuler des variables al´ eatoires d’une loi donn´ ee. Nous avons vu dans les sections pr´ ec´ edentes comment
simuler quelques lois avec R (rnorm(), runif()). Lorsque la loi `
a simuler n’est
pas impl´ ement´ ee dans R, il est possible d’utiliser l’une des m´ ethodes pr´ esent´ ees
dans cette section.
10.5.1 Simuler ` a partir d’une autre loi
Il existe parfois des formules simples exprimant la variable al´ eatoire X de
loi L, dont on veut simuler des observations, en fonction d’une ou de plusieurs
variables al´ eatoires de lois usuelles. Il devient alors ais´ e de fabriquer un g´ en´ erateur d’observations de loi L au moyen de cette formule. L’exemple tr` es simple
suivant permet d’illustrer ce point. On se rappellera par exemple que l’on peut
fabriquer une variable al´ eatoire de loi χ
2
1 en prenant le carr´ e d’une variable
al´ eatoire gaussienne standard.
> rkhi2.1 <- function() rnorm(1)^2 # X ∼ N(0, 1) ⇒ X
2 ∼ χ
2
1
.
Prise en main
Ï
G´ en´ erez des observations suivant une loi T U(2) (voir la d´ efinition de cette
loi dans la section 10.7), page 440.
10.5.2 M´ ethode de la transformation inverse
Supposons que l’on connaisse la fonction de r´ epartition r´ eciproque F
−1
X de
la variable al´ eatoire X et que l’on veuille simuler des observations ayant la
mˆ eme loi que celle de X. Cela peut alors tr` es facilement se faire ` a partir d’un
g´ en´ erateur U de loi U(0, 1), au moyen de la formule suivante :
˜
X = F
−1
X (U).
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– bien cerner le (cœur du) probl` eme ;
– d´ ecomposer le ph´ enom` ene ´ etudi´ e en une suite d’exp´ eriences plus simples,
simulables avec les outils math´ ematiques et informatiques dont on dispose ;
– ´ ecrire la trame d’un algorithme permettant de r´ esoudre le probl` eme ;
– transcrire cet algorithme dans un programme ´ ecrit dans un langage interpr´ et´ e comme R ;
– tester ce programme pour s’assurer qu’il fonctionne correctement ;
– transcrire (´ eventuellement) le programme en utilisant un langage de plus
bas niveau (compil´ e) comme C/C++ ou Fortran.
Toute simulation n´ ecessite d’ˆ etre en mesure de simuler des variables al´ eatoires d’une loi donn´ ee. Nous avons vu dans les sections pr´ ec´ edentes comment
simuler quelques lois avec R (rnorm(), runif()). Lorsque la loi `
a simuler n’est
pas impl´ ement´ ee dans R, il est possible d’utiliser l’une des m´ ethodes pr´ esent´ ees
dans cette section.
10.5.1 Simuler ` a partir d’une autre loi
Il existe parfois des formules simples exprimant la variable al´ eatoire X de
loi L, dont on veut simuler des observations, en fonction d’une ou de plusieurs
variables al´ eatoires de lois usuelles. Il devient alors ais´ e de fabriquer un g´ en´ erateur d’observations de loi L au moyen de cette formule. L’exemple tr` es simple
suivant permet d’illustrer ce point. On se rappellera par exemple que l’on peut
fabriquer une variable al´ eatoire de loi χ
2
1 en prenant le carr´ e d’une variable
al´ eatoire gaussienne standard.
> rkhi2.1 <- function() rnorm(1)^2 # X ∼ N(0, 1) ⇒ X
2 ∼ χ
2
1
.
Prise en main
Ï
G´ en´ erez des observations suivant une loi T U(2) (voir la d´ efinition de cette
loi dans la section 10.7), page 440.
10.5.2 M´ ethode de la transformation inverse
Supposons que l’on connaisse la fonction de r´ epartition r´ eciproque F
−1
X de
la variable al´ eatoire X et que l’on veuille simuler des observations ayant la
mˆ eme loi que celle de X. Cela peut alors tr` es facilement se faire ` a partir d’un
g´ en´ erateur U de loi U(0, 1), au moyen de la formule suivante :
˜
X = F
−1
X (U).