434
Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
En effet, il se trouve que la variable al´ eatoire ˜
X a pour fonction de r´ epartition
F X . Cette propri´ et´ e est connue sous le nom de transformation int´ egrale de
probabilit´ e et a ´ et´ e d´ ecouverte par R.A. Fisher ([23]).
Prise en main
Ï
On rappelle que la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire X de
loi exponentielle E(λ) est donn´ ee par
F X (x; λ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 − e
−λx
, x ≥ 0,
0,
x < 0.
Calculez F
−1
X puis utilisez la fonction runif() pour g´ en´ erer des observations d’une loi E(2).
10.5.3 M´ ethode du rejet
Supposons que l’on connaisse la fonction de densit´ e f X de la variable al´ eatoire X, mais pas sa fonction de r´ epartition inverse. On veut simuler des observations ayant la mˆ eme loi que celle de X. La m´ ethode du rejet consiste ` a
g´ en´ erer des donn´ ees suivant une distribution de fonction de densit´ e de r´ ef´ erence g proche de celle d´ esir´ ee (dans le sens que f X (x) ≤ c × g(x) pour un c > 0)
et ensuite `
a ´ eliminer une certaine proportion de ces donn´ ees de mani` ere ` a se
ramener `
a des donn´ ees qui suivent la distribution attendue.
L’algorithme ` a utiliser est le suivant :
1) g´ en´ erer une donn´ ee y en utilisant une variable al´ eatoire Y de densit´ e g ;
2) g´ en´ erer u en utilisant une variable al´ eatoire U de densit´ e U(0, 1) ;
3) si c × g(y) × u ≤ f (y), alors on garde y comme donn´ ee g´ en´ er´ ee, sinon on
l’´ ecarte et on recommence l’algorithme au d´ epart.
Les diff´ erentes valeurs obtenues par cet algorithme peuvent ˆ etre consid´ er´ ees
comme ayant ´ et´ e g´ en´ er´ ees par une variable al´ eatoire de densit´ e f X . La meilleure
valeur de la constante c ` a utiliser pour minimiser le nombre de rejets est c =
sup x f X (x)/g(x) .
Prise en main
Ï
Nous allons utiliser la m´ ethode du rejet pour g´ en´ erer des observations de
loi N(0, 1) en prenant comme fonction de r´ ef´ erence la densit´ e d’une loi
exponentielle de param` etre λ = 1. Vous prendrez la valeur c =
e 1 /(2π)
et utiliserez la fonction rbinom() pour affecter un signe positif ou n´ egatif
aux valeurs fabriqu´ ees par l’algorithme du rejet.
Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
En effet, il se trouve que la variable al´ eatoire ˜
X a pour fonction de r´ epartition
F X . Cette propri´ et´ e est connue sous le nom de transformation int´ egrale de
probabilit´ e et a ´ et´ e d´ ecouverte par R.A. Fisher ([23]).
Prise en main
Ï
On rappelle que la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire X de
loi exponentielle E(λ) est donn´ ee par
F X (x; λ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
1 − e
−λx
, x ≥ 0,
0,
x < 0.
Calculez F
−1
X puis utilisez la fonction runif() pour g´ en´ erer des observations d’une loi E(2).
10.5.3 M´ ethode du rejet
Supposons que l’on connaisse la fonction de densit´ e f X de la variable al´ eatoire X, mais pas sa fonction de r´ epartition inverse. On veut simuler des observations ayant la mˆ eme loi que celle de X. La m´ ethode du rejet consiste ` a
g´ en´ erer des donn´ ees suivant une distribution de fonction de densit´ e de r´ ef´ erence g proche de celle d´ esir´ ee (dans le sens que f X (x) ≤ c × g(x) pour un c > 0)
et ensuite `
a ´ eliminer une certaine proportion de ces donn´ ees de mani` ere ` a se
ramener `
a des donn´ ees qui suivent la distribution attendue.
L’algorithme ` a utiliser est le suivant :
1) g´ en´ erer une donn´ ee y en utilisant une variable al´ eatoire Y de densit´ e g ;
2) g´ en´ erer u en utilisant une variable al´ eatoire U de densit´ e U(0, 1) ;
3) si c × g(y) × u ≤ f (y), alors on garde y comme donn´ ee g´ en´ er´ ee, sinon on
l’´ ecarte et on recommence l’algorithme au d´ epart.
Les diff´ erentes valeurs obtenues par cet algorithme peuvent ˆ etre consid´ er´ ees
comme ayant ´ et´ e g´ en´ er´ ees par une variable al´ eatoire de densit´ e f X . La meilleure
valeur de la constante c ` a utiliser pour minimiser le nombre de rejets est c =
sup x f X (x)/g(x) .
Prise en main
Ï
Nous allons utiliser la m´ ethode du rejet pour g´ en´ erer des observations de
loi N(0, 1) en prenant comme fonction de r´ ef´ erence la densit´ e d’une loi
exponentielle de param` etre λ = 1. Vous prendrez la valeur c =
e 1 /(2π)
et utiliserez la fonction rbinom() pour affecter un signe positif ou n´ egatif
aux valeurs fabriqu´ ees par l’algorithme du rejet.