Chapitre 10. Variables al´ eatoires, lois et simulations
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Maintenant, toujours en jouant le rˆ ole de « M` ere Nature », simulons un
´ echantillon (x 1 , . . . , x n ) de taille n provenant d’une loi N(θ
•
, 1).
> n <- 1000
> x1...xn <- rnorm(n,mean=theta.point)
Attention
Comme nous l’avons vu dans la partie I, il est possible de mettre des
points (.) dans le nom d’une variable. Ainsi, x1...xn repr´ esente ici le nom
d’une variable R.
`
A pr´ esent, nous pouvons quitter l’habit de « M` ere Nature » pour revenir
dans notre enveloppe de simple statisticien. Le but du jeu est alors d’estimer
le θ
• inconnu par une valeur num´ erique (une estimation) que nous noterons
ˆ
θ(x 1 , . . . , x n ). Pour cela, on va construire au moyen de la fonction R d’optimisation nlminb(), une fonction ˆ
θ(X 1 , . . . , X n ) qui fabrique cette estimation.
Celle-ci sera construite comme la valeur de θ qui maximise la vraisemblance
not´ ee V(θ ;X 1 , . . . , X n ) de l’´ echantillon ou, ce qui est ´ equivalent, qui minimise
−LogV(θ ;X 1 , . . . , X n ). Cette fonction sera appel´ ee l’estimateur du maximum
de vraisemblance de θ
• . Notez que la vraisemblance (´ evalu´ ee en θ) est en
quelque sorte une mesure de plausibilit´ e d’observer l’´ echantillon si l’on suppose
que θ
•
= θ.
On d´ efinit
> theta.chapeau <- function(X1...Xn) {
+ start <- 0.5
+ nlminb(start,moins.log.vraisemblance,X1...Xn=X1...Xn)$par
+ }
o` u la fonction moins.log.vraisemblance() est d´ efinie par
> moins.log.vraisemblance <- function(theta,X1...Xn) {
+ res <- -sum(log(dnorm(X1...Xn,theta)))
+ return(res)
+ }
Maintenant, on peut utiliser notre estimateur sur les observations x 1 , . . . , x n
fournies par « M` ere Nature » pour obtenir notre estimation.
> theta.chapeau(x1...xn)
[1] 5.974491
Puisque nous avions suppos´ e que la valeur θ
• vit dans l’ensemble {0, 1, . . . , 9},
on peut donc proposer comme estimation de θ
• la valeur
θ • = 6.
On peut maintenant retourner dans la peau de « M` ere Nature » afin de
v´ erifier si l’estimation obtenue est proche de la vraie valeur inconnue θ
• que
l’on avait temporairement cach´ ee.
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Maintenant, toujours en jouant le rˆ ole de « M` ere Nature », simulons un
´ echantillon (x 1 , . . . , x n ) de taille n provenant d’une loi N(θ
•
, 1).
> n <- 1000
> x1...xn <- rnorm(n,mean=theta.point)
Attention
Comme nous l’avons vu dans la partie I, il est possible de mettre des
points (.) dans le nom d’une variable. Ainsi, x1...xn repr´ esente ici le nom
d’une variable R.
`
A pr´ esent, nous pouvons quitter l’habit de « M` ere Nature » pour revenir
dans notre enveloppe de simple statisticien. Le but du jeu est alors d’estimer
le θ
• inconnu par une valeur num´ erique (une estimation) que nous noterons
ˆ
θ(x 1 , . . . , x n ). Pour cela, on va construire au moyen de la fonction R d’optimisation nlminb(), une fonction ˆ
θ(X 1 , . . . , X n ) qui fabrique cette estimation.
Celle-ci sera construite comme la valeur de θ qui maximise la vraisemblance
not´ ee V(θ ;X 1 , . . . , X n ) de l’´ echantillon ou, ce qui est ´ equivalent, qui minimise
−LogV(θ ;X 1 , . . . , X n ). Cette fonction sera appel´ ee l’estimateur du maximum
de vraisemblance de θ
• . Notez que la vraisemblance (´ evalu´ ee en θ) est en
quelque sorte une mesure de plausibilit´ e d’observer l’´ echantillon si l’on suppose
que θ
•
= θ.
On d´ efinit
> theta.chapeau <- function(X1...Xn) {
+ start <- 0.5
+ nlminb(start,moins.log.vraisemblance,X1...Xn=X1...Xn)$par
+ }
o` u la fonction moins.log.vraisemblance() est d´ efinie par
> moins.log.vraisemblance <- function(theta,X1...Xn) {
+ res <- -sum(log(dnorm(X1...Xn,theta)))
+ return(res)
+ }
Maintenant, on peut utiliser notre estimateur sur les observations x 1 , . . . , x n
fournies par « M` ere Nature » pour obtenir notre estimation.
> theta.chapeau(x1...xn)
[1] 5.974491
Puisque nous avions suppos´ e que la valeur θ
• vit dans l’ensemble {0, 1, . . . , 9},
on peut donc proposer comme estimation de θ
• la valeur
θ • = 6.
On peut maintenant retourner dans la peau de « M` ere Nature » afin de
v´ erifier si l’estimation obtenue est proche de la vraie valeur inconnue θ
• que
l’on avait temporairement cach´ ee.