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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
> X <- function() rnorm(1)
> vecXn <- function(n) replicate(n,X()) # Échantillon de v.a.
# de loi N(0, 1).
> Fnchap <- function(n,x,X) ecdf(X(n))(x) # Création de la
# fonction (v.a.) ˆ
F n .
> Fnchap(n=10,x=0,X=vecXn)
# Un premier appel de ˆ
F n (x)
# pour x = 0.
[1] 0.7
> Fnchap(n=1000,x=0,X=vecXn) # Un deuxième appel de ˆ
F n (x)
# pour x = 0.
[1] 0.515
10.4.3 Estimation par la m´ ethode du maximum
de vraisemblance
Le probl` eme est le suivant. Nous observons dans la nature un certain ph´ enom` ene et r´ ecoltons des donn´ ees en lien avec ce ph´ enom` ene. Nous disposons
donc d’un ´ echantillon observ´ e de donn´ ees (x 1 , . . . , x n ) de taille n. Nous pouvons
alors supposer que ces donn´ ees ont ´ et´ e fabriqu´ ees par « M` ere Nature » (appelons l` a ainsi), qui les a g´ en´ er´ ees au moyen d’une variable al´ eatoire suivant une
loi disons N(θ
•
, 1), pour un certain param` etre θ
• dont la valeur exacte nous est
inconnue, mais qui est ´ el´ ement de l’ensemble {0, 1, 2, . . . , 9}.
L’objectif de la m´ ethode du maximum de vraisemblance est de deviner (estimer) la valeur de θ
• uniquement sur la base de cet ´ echantillon observ´ e,
qui constitue ainsi la seule information disponible sur le processus de g´ en´ eration de donn´ ees (si l’on fait abstraction de l’hypoth` ese sur la loi de la
variable al´ eatoire ayant g´ en´ er´ e les donn´ ees). On se demande en fait quelle est
la valeur la plus plausible pour θ
• (parmi {0, 1, . . . , 9}) ; celle ´ etant la plus susceptible d’avoir conduit ` a la g´ en´ eration des donn´ ees que nous avons effectivement
observ´ ees.
Nous allons utiliser une approche par simulation informatique, qui va
nous permettre de mieux comprendre le fonctionnement de cette m´ ethode du
maximum de vraisemblance.
Pour cela, on revˆ et un temps l’habit de « M` ere Nature » (ou du « Grand
Architecte ») afin de fixer une valeur θ
• dans l’ensemble {0, 1, 2, ..., 9}, appel´ ee la
vraie valeur du param` etre θ. Pour nous (« M` ere Nature ») permettre de choisir
la valeur de θ
• tout en ayant la possibilit´ e de nous (« Statisticien ») la laisser
temporairement inconnue, on utilisera la fonction runif().
> theta.point <- as.integer(runif(1) * 10)
> # Ne pas faire afficher pour le moment la valeur de
# theta.point.
Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
> X <- function() rnorm(1)
> vecXn <- function(n) replicate(n,X()) # Échantillon de v.a.
# de loi N(0, 1).
> Fnchap <- function(n,x,X) ecdf(X(n))(x) # Création de la
# fonction (v.a.) ˆ
F n .
> Fnchap(n=10,x=0,X=vecXn)
# Un premier appel de ˆ
F n (x)
# pour x = 0.
[1] 0.7
> Fnchap(n=1000,x=0,X=vecXn) # Un deuxième appel de ˆ
F n (x)
# pour x = 0.
[1] 0.515
10.4.3 Estimation par la m´ ethode du maximum
de vraisemblance
Le probl` eme est le suivant. Nous observons dans la nature un certain ph´ enom` ene et r´ ecoltons des donn´ ees en lien avec ce ph´ enom` ene. Nous disposons
donc d’un ´ echantillon observ´ e de donn´ ees (x 1 , . . . , x n ) de taille n. Nous pouvons
alors supposer que ces donn´ ees ont ´ et´ e fabriqu´ ees par « M` ere Nature » (appelons l` a ainsi), qui les a g´ en´ er´ ees au moyen d’une variable al´ eatoire suivant une
loi disons N(θ
•
, 1), pour un certain param` etre θ
• dont la valeur exacte nous est
inconnue, mais qui est ´ el´ ement de l’ensemble {0, 1, 2, . . . , 9}.
L’objectif de la m´ ethode du maximum de vraisemblance est de deviner (estimer) la valeur de θ
• uniquement sur la base de cet ´ echantillon observ´ e,
qui constitue ainsi la seule information disponible sur le processus de g´ en´ eration de donn´ ees (si l’on fait abstraction de l’hypoth` ese sur la loi de la
variable al´ eatoire ayant g´ en´ er´ e les donn´ ees). On se demande en fait quelle est
la valeur la plus plausible pour θ
• (parmi {0, 1, . . . , 9}) ; celle ´ etant la plus susceptible d’avoir conduit ` a la g´ en´ eration des donn´ ees que nous avons effectivement
observ´ ees.
Nous allons utiliser une approche par simulation informatique, qui va
nous permettre de mieux comprendre le fonctionnement de cette m´ ethode du
maximum de vraisemblance.
Pour cela, on revˆ et un temps l’habit de « M` ere Nature » (ou du « Grand
Architecte ») afin de fixer une valeur θ
• dans l’ensemble {0, 1, 2, ..., 9}, appel´ ee la
vraie valeur du param` etre θ. Pour nous (« M` ere Nature ») permettre de choisir
la valeur de θ
• tout en ayant la possibilit´ e de nous (« Statisticien ») la laisser
temporairement inconnue, on utilisera la fonction runif().
> theta.point <- as.integer(runif(1) * 10)
> # Ne pas faire afficher pour le moment la valeur de
# theta.point.