Chapitre 10. Variables al´ eatoires, lois et simulations
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Il suffit donc de g´ en´ erer un ´ echantillon (x 1 , . . . , x n ) de grande taille n provenant de variables al´ eatoires suivant une loi U(a, b), puis d’estimer E[g(X)]
par
1
n
n
i=1
g(x i ).
C’est ce que l’on appelle le calcul d’int´ egrale par simulation de MonteCarlo.
10.4.2 La fonction de r´ epartition empirique
Une variable al´ eatoire suivant une loi de Bernoulli de param` etre p est d´ efinie
comme un g´ en´ erateur pouvant fabriquer uniquement des 1 et des 0, avec une
probabilit´ e p de fabriquer un 1, et 1 − p de fabriquer un 0. Si l’on se donne un
´ echantillon (x 1 , . . . , x n ), de taille n, de r´ ealisations de variables al´ eatoires ayant
cette loi, on peut alors calculer la proportion (not´ ee ˆ
p) de valeurs ´ egales ` a 1
parmi toutes les valeurs de l’´ echantillon. Cette proportion n’est rien d’autre
que la moyenne x n =
1
n
n
i=1 x i .
Par la loi des grands nombres, cette moyenne se rapproche, quand n augmente
de l’esp´ erance de X, soit E(X) = 1 × P[X = 1] + 0 × P[X = 0] = P[X = 1] = p. C’est
ce que l’on appelle l’approche fr´ equentiste des probabilit´ es qui stipule que
la probabilit´ e d’un ´ ev´ enement est d´ efinie comme la limite de la fr´ equence d’apparition de cet ´ ev´ enement. On notera ˆ
p l’estimateur de la proportion p.
Soit X une variable al´ eatoire et x une valeur r´ eelle (ici x n’est pas une r´ ealisation de X). On peut alors fabriquer la nouvelle variable al´ eatoire 1 [X≤x] qui
prend les valeurs 1 ou 0 suivant que X prend des valeurs inf´ erieures ` a x ou pas.
En suivant la mˆ eme id´ ee, et en se fondant sur un ´ echantillon X n = (X 1 , . . . , X n )
T ,
on peut fabriquer la variable al´ eatoire ˆ
F n (x) := ˆ
F X n (x) :=
1
n
n
i=1 1 [Xi≤x] . La loi
des grands nombres nous permet d’affirmer que
1
n
n
i=1
1 [Xi≤x]
P
−→ E(1 [X1≤x] ).
On peut montrer th´ eoriquement que E(1 [X1≤x] ) = P[X 1 ≤ x] = F X 1 (x). Ainsi, on
a
ˆ
F X n (x)
P
−→ F X 1 (x).
La variable al´ eatoire ˆ
F X n (x), vue comme une fonction de x, s’appelle la fonction de r´ epartition empirique de l’´ echantillon X n = (X 1 , . . . , X n ). Nous reviendrons sur cette fonction lors de la pr´ esentation de la m´ ethode du bootstrap
` a la section 10.6.
La fonction R ecdf() permet de cr´ eer simplement cette fonction de r´ epartition empirique :
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Il suffit donc de g´ en´ erer un ´ echantillon (x 1 , . . . , x n ) de grande taille n provenant de variables al´ eatoires suivant une loi U(a, b), puis d’estimer E[g(X)]
par
1
n
n
i=1
g(x i ).
C’est ce que l’on appelle le calcul d’int´ egrale par simulation de MonteCarlo.
10.4.2 La fonction de r´ epartition empirique
Une variable al´ eatoire suivant une loi de Bernoulli de param` etre p est d´ efinie
comme un g´ en´ erateur pouvant fabriquer uniquement des 1 et des 0, avec une
probabilit´ e p de fabriquer un 1, et 1 − p de fabriquer un 0. Si l’on se donne un
´ echantillon (x 1 , . . . , x n ), de taille n, de r´ ealisations de variables al´ eatoires ayant
cette loi, on peut alors calculer la proportion (not´ ee ˆ
p) de valeurs ´ egales ` a 1
parmi toutes les valeurs de l’´ echantillon. Cette proportion n’est rien d’autre
que la moyenne x n =
1
n
n
i=1 x i .
Par la loi des grands nombres, cette moyenne se rapproche, quand n augmente
de l’esp´ erance de X, soit E(X) = 1 × P[X = 1] + 0 × P[X = 0] = P[X = 1] = p. C’est
ce que l’on appelle l’approche fr´ equentiste des probabilit´ es qui stipule que
la probabilit´ e d’un ´ ev´ enement est d´ efinie comme la limite de la fr´ equence d’apparition de cet ´ ev´ enement. On notera ˆ
p l’estimateur de la proportion p.
Soit X une variable al´ eatoire et x une valeur r´ eelle (ici x n’est pas une r´ ealisation de X). On peut alors fabriquer la nouvelle variable al´ eatoire 1 [X≤x] qui
prend les valeurs 1 ou 0 suivant que X prend des valeurs inf´ erieures ` a x ou pas.
En suivant la mˆ eme id´ ee, et en se fondant sur un ´ echantillon X n = (X 1 , . . . , X n )
T ,
on peut fabriquer la variable al´ eatoire ˆ
F n (x) := ˆ
F X n (x) :=
1
n
n
i=1 1 [Xi≤x] . La loi
des grands nombres nous permet d’affirmer que
1
n
n
i=1
1 [Xi≤x]
P
−→ E(1 [X1≤x] ).
On peut montrer th´ eoriquement que E(1 [X1≤x] ) = P[X 1 ≤ x] = F X 1 (x). Ainsi, on
a
ˆ
F X n (x)
P
−→ F X 1 (x).
La variable al´ eatoire ˆ
F X n (x), vue comme une fonction de x, s’appelle la fonction de r´ epartition empirique de l’´ echantillon X n = (X 1 , . . . , X n ). Nous reviendrons sur cette fonction lors de la pr´ esentation de la m´ ethode du bootstrap
` a la section 10.6.
La fonction R ecdf() permet de cr´ eer simplement cette fonction de r´ epartition empirique :