426
Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
On peut alors parler de ˆ
θ(X 1 , . . . , X n ) comme ´ etant l’estimateur de θ. Cet estimateur est une variable al´ eatoire, fonction des variables al´ eatoires ayant g´ en´ er´ e
l’´ echantillon, qui a ´ et´ e construit afin de se rapprocher dans un certain sens de θ.
Il existe plusieurs techniques pour proposer un estimateur d’un param` etre θ.
Retenons par exemple que la loi des grands nombres nous permet de proposer
X n =
1
n
n
i=1 X i comme estimateur de l’esp´ erance th´ eorique μ = E(X 1 ). Notez
que l’´ echantillon (X 1 , . . . , X n ) a ´ et´ e g´ en´ er´ e en suivant une loi dont l’un des param` etres est justement cette valeur inconnue μ.
> theta <- 7 # Valeur supposée inconnue.
> mean(rnorm(10000,mean=theta)) # On se sert de l’échantillon
# observé (x 1 , . . . , x 10000 ).
[1] 7.003201
En suivant la mˆ eme id´ ee fond´ ee sur la loi des grands nombres, on peut
proposer X 2
n −
X n
2 =
1
n
n
i=1 X
2
i −
1
n
n
i=1 X i
2 comme estimateur du param` etre
(suppos´ e inconnu) σ
2
= Var(X 1 ) = E(X
2
1 ) − [E(X 1 )]
2 . On ne se sert ainsi que d’un
´ echantillon observ´ e de variables al´ eatoires (qui suivent une loi d´ ependant du
param` etre inconnu σ) pour estimer σ
2 .
Remarque
L’estimateur ainsi propos´ e est biais´ e (voir section 10.4.4). L’estimateur
sans biais de σ
2 est ˆ
σ
2
=
1
n−1
n
i=1
X i − X n
2 .
> theta <- 2 # Var(X 1 ), supposée inconnue.
> vecx <- rnorm(10000,sd=sqrt(theta))
> mean(vecx^2)-(mean(vecx))^2 # On se sert uniquement de
# l’échantillon observé.
[1] 2.032261
Astuce
Notez que l’approche que nous venons de d´ ecrire permet de calculer des
int´ egrales. En effet, on a par exemple
b
a
g(x)dx =
R
g(x)1 [a,b] (x)dx = E[g(X)],
o` u X est une variable al´ eatoire qui suit une loi uniforme U(a, b) sur l’intervalle [a, b].