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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
> mean(runif(1000000))
[1] 0.4999134
On constate bien ` a l’aide de R, en augmentant la valeur de la taille de
l’´ echantillon n, que ces diff´ erents chiffres se rapprochent de la moyenne th´ eorique μ = 0.5 des n variables al´ eatoires i.i.d. U(0, 1).
Remarque
Cela se r´ ev` elera tr` es utile pour approcher (on dit estimer) les param` etres inconnus d’une loi. Nous reviendrons sur ce point dans la section 10.4.
10.3.2 Th´ eor` eme de la limite centrale
On peut ´ egalement s’int´ eresser ` a la variable al´ eatoire Y n =
√
n
X n −μ
σ
qui
sert de pivot ` a la construction de certains intervalles de confiance et tests d’hypoth` eses. Comme toute variable al´ eatoire, Y n poss` ede une loi (de fonctionnement). Les math´ ematiques permettent parfois de la calculer de fa¸ con explicite.
Cette loi d´ epend en g´ en´ eral de la taille n de l’´ echantillon. On peut alors se poser
la question de l’´ evolution de cette loi pour des valeurs grandissantes de n. C’est
ce que l’on appelle l’´ etude de la convergence en loi d’une variable al´ eatoire.
Le th´ eor` eme central limite ´ enonce que Y n converge en loi vers une variable
al´ eatoire limite de loi N(0, 1). En d’autres termes, g´ en´ erer des observations `
a
partir de Y ∞ revient ` a g´ en´ erer des observations `
a partir d’une variable al´ eatoire
suivant une loi N(0, 1) (si tant est que l’on ne s’int´ eresse qu’` a la distribution
des valeurs de Y ∞ et pas `
a ses r´ ealisations individuelles).
Ce mode de convergence, ainsi que les autres modes de convergence classiques (convergence en probabilit´ e, presque sˆ ure et en moyenne r), sont tr` es
bien expliqu´ es dans [31].
Le package ConvergenceConcepts, d´ ecrit dans [30], est un outil qui permet
de visualiser graphiquement cette ´ evolution. Vous pouvez par exemple essayer
les instructions suivantes :
require("ConvergenceConcepts")
investigate() # Sélectionnez Example 3.
Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
> mean(runif(1000000))
[1] 0.4999134
On constate bien ` a l’aide de R, en augmentant la valeur de la taille de
l’´ echantillon n, que ces diff´ erents chiffres se rapprochent de la moyenne th´ eorique μ = 0.5 des n variables al´ eatoires i.i.d. U(0, 1).
Remarque
Cela se r´ ev` elera tr` es utile pour approcher (on dit estimer) les param` etres inconnus d’une loi. Nous reviendrons sur ce point dans la section 10.4.
10.3.2 Th´ eor` eme de la limite centrale
On peut ´ egalement s’int´ eresser ` a la variable al´ eatoire Y n =
√
n
X n −μ
σ
qui
sert de pivot ` a la construction de certains intervalles de confiance et tests d’hypoth` eses. Comme toute variable al´ eatoire, Y n poss` ede une loi (de fonctionnement). Les math´ ematiques permettent parfois de la calculer de fa¸ con explicite.
Cette loi d´ epend en g´ en´ eral de la taille n de l’´ echantillon. On peut alors se poser
la question de l’´ evolution de cette loi pour des valeurs grandissantes de n. C’est
ce que l’on appelle l’´ etude de la convergence en loi d’une variable al´ eatoire.
Le th´ eor` eme central limite ´ enonce que Y n converge en loi vers une variable
al´ eatoire limite de loi N(0, 1). En d’autres termes, g´ en´ erer des observations `
a
partir de Y ∞ revient ` a g´ en´ erer des observations `
a partir d’une variable al´ eatoire
suivant une loi N(0, 1) (si tant est que l’on ne s’int´ eresse qu’` a la distribution
des valeurs de Y ∞ et pas `
a ses r´ ealisations individuelles).
Ce mode de convergence, ainsi que les autres modes de convergence classiques (convergence en probabilit´ e, presque sˆ ure et en moyenne r), sont tr` es
bien expliqu´ es dans [31].
Le package ConvergenceConcepts, d´ ecrit dans [30], est un outil qui permet
de visualiser graphiquement cette ´ evolution. Vous pouvez par exemple essayer
les instructions suivantes :
require("ConvergenceConcepts")
investigate() # Sélectionnez Example 3.