Chapitre 10. Variables al´ eatoires, lois et simulations
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– cette loi de fonctionnement d´ epend d’un param` etre mu (affect´ e au param` etre formel mean de la fonction rnorm()) qui est fix´ e lors de sa cr´ eation
` a la valeur μ = 7, et qui ne varie jamais lors des appels successifs de la
fonction ;
– ce param` etre μ est donc une caract´ eristique intrins` eque de chacune
des variables X i .
Remarque
Puisque X 4 est une variable al´ eatoire, elle poss` ede donc une loi comme
toute variable al´ eatoire. La th´ eorie math´ ematique nous dit que X 4 ∼ N(μ =
7, σ
2
= 1/4). Si l’on s’int´ eresse uniquement au comportement en loi de
Xbarre4(), nous pouvons la d´ efinir directement par :
> Xbarre4 <- function() rnorm(1,mean = 7,sd = sqrt(1/4))
SECTION 10.3
Loi des grands nombres et th´ eor` eme
de la limite centrale
Soit X n =
1
n
n
i=1 X i la variable al´ eatoire moyenne constitu´ ee de n variables
al´ eatoires X i i.i.d., chacune ayant la mˆ eme loi L qui n’est pas forc´ ement connue,
d’esp´ erance E(X i ) = μ et de variance Var(X i ) = σ
2
< ∞.
10.3.1 Loi des grands nombres
La loi des grands nombres stipule que lorsque n tend vers l’infini, la
variable al´ eatoire moyenne X n tend (on dit converge en probabilit´ e) vers E(X 1 ),
c’est-` a-dire la moyenne th´ eorique μ. On ´ ecrit alors X n
P
−→ E(X 1 ). Cela peut
facilement ˆ etre constat´ e avec R, par exemple lorsque L = U(0, 1) :
> mean(runif(1))
[1] 0.8043387
> mean(runif(10))
[1] 0.6478526
> mean(runif(100))
[1] 0.5574017
> mean(runif(1000))
[1] 0.5024962
> mean(runif(10000))
[1] 0.5001176
> mean(runif(100000))
[1] 0.4999408