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Le logiciel R - Effectuer des analyses statistiques
Remarque
La fonction de r´ epartition F X (x), qui cumule les densit´ es d’observations jusqu’au point x (ou qui cumule les probabilit´ es d’observation des
modalit´ es inf´ erieures ou ´ egales ` a x pour une variable discr` ete), est une autre
fa¸ con de caract´ eriser la loi d’une variable al´ eatoire. On peut montrer qu’elle
repr´ esente l’aire sous la courbe de densit´ e f X jusqu’au point x et traduit la
probabilit´ e que la variable al´ eatoire X fabrique des observations plus petites
que x :
F X (x) = P[X ≤ x] =
x
−∞
f X (t)dt.
La fonction quantile F
−1
X , fonction r´ eciproque de la fonction de
r´ epartition, permet ´ egalement de caract´ eriser la loi d’une variable al´ eatoire.
Pour chaque valeur de probabilit´ e p ∈ [0, 1], la valeur x p = F
−1
X (p) est
appel´ ee le fractile ou quantile d’ordre p de la variable al´ eatoire X. Il
est donc d´ efini par :
x p = F
−1
X (p) ⇔ F X (x p ) = P[X ≤ x p ] = p.
Ainsi, la probabilit´ e que les r´ ealisations de la variable al´ eatoire X soient
inf´ erieures ou ´ egales ` a la valeur x p vaut p. Le graphique suivant illustre
cette notion.
x p
p
f X
10.2.4 Param` etres de la loi d’une variable al´ eatoire
Nous avions d´ elib´ er´ ement cach´ e le corps de la fonction d´ efinissant la variable
al´ eatoire X. Nous pouvons `
a pr´ esent r´ ev´ eler que la densit´ e repr´ esent´ ee sur la
figure 10.1 est la densit´ e d’une variable al´ eatoire X de loi N(μ = 7, σ
2
= 1).