Chapitre 10. Variables al´ eatoires, lois et simulations
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Attention
Notez bien que les deux variables al´ eatoires pr´ ec´ edentes sont construites
de mani` ere identique (mˆ emes instructions) sauf pour la r` egle de fonctionnement ou loi qui les r´ egit (runif ou rnorm dans le corps de la fonction).
Un synonyme (anglicisme) souvent utilis´ e pour remplacer le mot loi est
distribution (qui est en fait la traduction anglaise du mot r´ epartition).
Cela vient du fait que la fonction de r´ epartition (qui sera vue plus tard),
qui d´ ecrit comment les valeurs produites par une variable al´ eatoire se r´ epartissent sur son support, caract´ erise enti` erement la loi de cette variable.
10.2.2 Variables al´ eatoires i.i.d.
Un autre ´ enonc´ e courant en statistique est le suivant : « Soit n variables al´ eatoires X 1 , . . . , X n ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees (i.i.d.) de mˆ eme
loi N(0, 1) ». Nous pouvons traduire ce concept en R de mani` ere simple. En
prenant par exemple n = 4, nous obtenons :
> X <- function() rnorm(1) # v.a. de loi (de fonctionnement)
# rnorm (c’est-à-dire N(0, 1)).
> X4 <- X3 <- X2 <- X1 <- X
# Traduit le fait que les
# X i sont i.i.d.
Attention
Prenez garde au fait que X1 et X2 ont la mˆ eme loi rnorm. On dit qu’elles
sont identiquement distribu´ ees. En revanche, elles ne sont pas identiques
dans le sens qu’elles ne produisent pas les mˆ emes valeurs. En outre, l’ind´ ependance entre X1 et X2 vient du fait que la production de valeurs par X1
n’est pas influenc´ ee par le fonctionnement de X2 :
> X1
function() rnorm(1) # v.a. de loi (de fonctionnement)
# rnorm (c’est-à-dire N(0, 1)).
> X2
function() rnorm(1) # v.a. de loi (de fonctionnement)
# rnorm (c’est-à-dire N(0, 1)).
> c(X1(),X2())
[1] -0.6319022 -0.1029233
Notez que l’on peut aussi consid´ erer le vecteur X = (X 1 , . . . , X 4 ), vecteur
al´ eatoire constitu´ e de quatre composantes, qui fabrique simultan´ ement quatre
r´ ealisations « ind´ ependantes » ` a chaque appel.
> vecX <- function() c(X1(),X2(),X3(),X4())
> vecX()
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Attention
Notez bien que les deux variables al´ eatoires pr´ ec´ edentes sont construites
de mani` ere identique (mˆ emes instructions) sauf pour la r` egle de fonctionnement ou loi qui les r´ egit (runif ou rnorm dans le corps de la fonction).
Un synonyme (anglicisme) souvent utilis´ e pour remplacer le mot loi est
distribution (qui est en fait la traduction anglaise du mot r´ epartition).
Cela vient du fait que la fonction de r´ epartition (qui sera vue plus tard),
qui d´ ecrit comment les valeurs produites par une variable al´ eatoire se r´ epartissent sur son support, caract´ erise enti` erement la loi de cette variable.
10.2.2 Variables al´ eatoires i.i.d.
Un autre ´ enonc´ e courant en statistique est le suivant : « Soit n variables al´ eatoires X 1 , . . . , X n ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees (i.i.d.) de mˆ eme
loi N(0, 1) ». Nous pouvons traduire ce concept en R de mani` ere simple. En
prenant par exemple n = 4, nous obtenons :
> X <- function() rnorm(1) # v.a. de loi (de fonctionnement)
# rnorm (c’est-à-dire N(0, 1)).
> X4 <- X3 <- X2 <- X1 <- X
# Traduit le fait que les
# X i sont i.i.d.
Attention
Prenez garde au fait que X1 et X2 ont la mˆ eme loi rnorm. On dit qu’elles
sont identiquement distribu´ ees. En revanche, elles ne sont pas identiques
dans le sens qu’elles ne produisent pas les mˆ emes valeurs. En outre, l’ind´ ependance entre X1 et X2 vient du fait que la production de valeurs par X1
n’est pas influenc´ ee par le fonctionnement de X2 :
> X1
function() rnorm(1) # v.a. de loi (de fonctionnement)
# rnorm (c’est-à-dire N(0, 1)).
> X2
function() rnorm(1) # v.a. de loi (de fonctionnement)
# rnorm (c’est-à-dire N(0, 1)).
> c(X1(),X2())
[1] -0.6319022 -0.1029233
Notez que l’on peut aussi consid´ erer le vecteur X = (X 1 , . . . , X 4 ), vecteur
al´ eatoire constitu´ e de quatre composantes, qui fabrique simultan´ ement quatre
r´ ealisations « ind´ ependantes » ` a chaque appel.
> vecX <- function() c(X1(),X2(),X3(),X4())
> vecX()