Chapitre 8. Math´ ematiques de base
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Nous allons repr´ esenter le nuage de points des donn´ ees quantitatives pr´ ec´ edentes apr` es les avoir projet´ ees sur un sous-espace (un plan) choisi de fa¸ con `
a
limiter la perte d’information ainsi engendr´ ee par cette projection.
8.1- Importez dans la variable climatvin le contenu du fichier de donn´ ees
http://www.biostatisticien.eu/springeR/climatvin.csv
8.2- Stockez dans la matrice X les variables TEMPER, SOLEIL, CHALEUR, PLUIE
(indice : as.matrix()).
8.3- Calculez le centre (de gravit´ e) g du nuage de points des individus pr´ esents dans X (vecteur des moyennes des colonnes) en utilisant la fonction
colMeans(). Affichez-le avec deux chiffres apr` es la virgule.
8.4- Utilisez la fonction scale() pour calculer la matrice ˙
X = ( ˙
x i j ) des donn´ ees
centr´ ees que vous stockerez dans la variable nomm´ ee Xpoint.
8.5- Calculez l’inertie globale du nuage de points, qui repr´ esente la dispersion des points : I =
1
n
n
i=1
p
j=1 ˙
x
2
i j , o` u n est le nombre d’individus pr´ esents dans X.
8.6- La contribution de l’individu i ` a l’inertie totale est donn´ ee par
1
nI
p
j=1 ˙
x
2
i j ,
o` u p est le nombre de variables (ici quatre).
Calculez le vecteur contrinertie des contributions ` a l’inertie totale de
tous les individus.
8.7- Cr´ eez la matrice colonne unn de longueur n, ne contenant que des 1.
8.8- V´ erifiez que vous pouvez recalculer le centre de gravit´ e g du nuage de
points au moyen de la formule g =
1
n X
T
1 n .
8.9- V´ erifiez que vous pouvez recalculer la matrice Xpoint des donn´ ees centr´ ees au moyen de la formule ˙
X = X − 1 n g
T .
8.10- Calculez la matrice S des covariances au moyen de la formule S =
1
n
˙
X
T ˙
X.
Essayez de retrouver ce r´ esultat au moyen de la fonction cov().
8.11- Utilisez la matrice S pour calculer la matrice diagonale Dunsurs contenant
les inverses des ´ ecarts types de la population : D 1/s = diag(1/s 1 , . . . , 1/s p ).
8.12- Calculez la matrice Z des donn´ ees centr´ ees-r´ eduites au moyen de la formule Z = ˙
XD 1/s .
8.13- Calculez la matrice des corr´ elations R au moyen de la formule R =
1
n Z
T
Z.
Essayez de la retrouver au moyen de la fonction cor().
8.14- Calculez la matrice diagonale Lambda des valeurs propres (Λ) et la matrice W des vecteurs propres (W) de la matrice des corr´ elations R. La
matrice W contient les coordonn´ ees d’une nouvelle base dans laquelle nous
repr´ esenterons les individus.
8.15- Tracez le cercle des corr´ elations, qui consiste en un cercle de rayon 1, sur
lequel sont superpos´ ees des fl` eches partant de l’origine du rep` ere et dont
les coordonn´ ees des pointes sont indiqu´ ees dans les deux premi` eres colonnes de la matrice WΛ
1/2 . Vous indiquerez ´ egalement sur ce graphique
les noms des variables au bout de chacune des quatre fl` eches.
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Nous allons repr´ esenter le nuage de points des donn´ ees quantitatives pr´ ec´ edentes apr` es les avoir projet´ ees sur un sous-espace (un plan) choisi de fa¸ con `
a
limiter la perte d’information ainsi engendr´ ee par cette projection.
8.1- Importez dans la variable climatvin le contenu du fichier de donn´ ees
http://www.biostatisticien.eu/springeR/climatvin.csv
8.2- Stockez dans la matrice X les variables TEMPER, SOLEIL, CHALEUR, PLUIE
(indice : as.matrix()).
8.3- Calculez le centre (de gravit´ e) g du nuage de points des individus pr´ esents dans X (vecteur des moyennes des colonnes) en utilisant la fonction
colMeans(). Affichez-le avec deux chiffres apr` es la virgule.
8.4- Utilisez la fonction scale() pour calculer la matrice ˙
X = ( ˙
x i j ) des donn´ ees
centr´ ees que vous stockerez dans la variable nomm´ ee Xpoint.
8.5- Calculez l’inertie globale du nuage de points, qui repr´ esente la dispersion des points : I =
1
n
n
i=1
p
j=1 ˙
x
2
i j , o` u n est le nombre d’individus pr´ esents dans X.
8.6- La contribution de l’individu i ` a l’inertie totale est donn´ ee par
1
nI
p
j=1 ˙
x
2
i j ,
o` u p est le nombre de variables (ici quatre).
Calculez le vecteur contrinertie des contributions ` a l’inertie totale de
tous les individus.
8.7- Cr´ eez la matrice colonne unn de longueur n, ne contenant que des 1.
8.8- V´ erifiez que vous pouvez recalculer le centre de gravit´ e g du nuage de
points au moyen de la formule g =
1
n X
T
1 n .
8.9- V´ erifiez que vous pouvez recalculer la matrice Xpoint des donn´ ees centr´ ees au moyen de la formule ˙
X = X − 1 n g
T .
8.10- Calculez la matrice S des covariances au moyen de la formule S =
1
n
˙
X
T ˙
X.
Essayez de retrouver ce r´ esultat au moyen de la fonction cov().
8.11- Utilisez la matrice S pour calculer la matrice diagonale Dunsurs contenant
les inverses des ´ ecarts types de la population : D 1/s = diag(1/s 1 , . . . , 1/s p ).
8.12- Calculez la matrice Z des donn´ ees centr´ ees-r´ eduites au moyen de la formule Z = ˙
XD 1/s .
8.13- Calculez la matrice des corr´ elations R au moyen de la formule R =
1
n Z
T
Z.
Essayez de la retrouver au moyen de la fonction cor().
8.14- Calculez la matrice diagonale Lambda des valeurs propres (Λ) et la matrice W des vecteurs propres (W) de la matrice des corr´ elations R. La
matrice W contient les coordonn´ ees d’une nouvelle base dans laquelle nous
repr´ esenterons les individus.
8.15- Tracez le cercle des corr´ elations, qui consiste en un cercle de rayon 1, sur
lequel sont superpos´ ees des fl` eches partant de l’origine du rep` ere et dont
les coordonn´ ees des pointes sont indiqu´ ees dans les deux premi` eres colonnes de la matrice WΛ
1/2 . Vous indiquerez ´ egalement sur ce graphique
les noms des variables au bout de chacune des quatre fl` eches.