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Généralités sur les matrices
inversible s’il existe une matrice notée D
1
telle que DD
1 = D
1 D = L
et singulière ou non inversible dans le cas contraire. La matrice D est dite
symétrique si D
w = D (autrement dit si d lm = d ml )e tantisymétrique si
D
w = D.O nd i tq u eD est orthogonale si D est une matrice telle que
D
1 = D
w
.U n em a t r i c eD est dite unitaire si D
1 = D
et D est dite
normale si DD
= D
D.U n em a t r i c eO est dite triangulaire inférieure si
d lm =0pour mAlet triangulaire inférieure stricte si les termes diagonaux
sont nuls. Une matrice X est dite triangulaire supérieure si la transposée
de U est triangulaire inférieure d lm =0si lAm
O =
3
E
E
E
E
C
d 11
0 ···
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
d q1 ··· ··· d qq
4
F
F
F
F
D
X =
3
E
E
E
E
C
d 11 ··· ··· d 1q
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 ···
0 d qq
4
F
F
F
F
D
Une matrice W est dite tridiagonale si d lm =0si l m +2 ou si m l +2.
Une matrice est appelée matrice bande si d lm =0si l m + n +1 ou si
m l + n +1> la bande est dite de largeur (2n +1). Une matrice K est une
matrice de Hessenberg si d lm =0si l m +2
W =
3
E
E
E
E
E
E
C
×× 00
×× ×
0 ××
. . . 0
. . .
. . . ×
00
××
4
F
F
F
F
F
F
D
K =
3
E
E
E
E
E
E
C
× × ··· × ×
×× × · · · ×
0 ××
. . .
. . .
. . .
. . . ×
00
××
4
F
F
F
F
F
F
D
Une m a t r i c ed eT o e p l i t zest une matrice dont les éléments sont identiques
sur chaque diagonale d lm = d l+1>m+1 .Unematrice de Hankel est une matrice
dont les éléments sont identiques sur les antidiagonales d lm = d l+1>m1 =
Changement de base. Si D est la matrice d’une application linéaire x exprimée dans une base (h l ) et si (i l ) est une autre base, on note S la matrice
de passage de la base (h l ) àl ab a s e(i l ) dont le jème vecteur colonne est
formé des composantes du vecteur i m dans la base (h l ).L am a t r i c ed ex
dans la base (i m ) est donnée par
E = S
1 DS
Le polynôme caractéristique d’une matrice carrée D de P (q> C) s’écrit
S ()=d e t ( D L)
=( 1)
q
q +(1)
q1 Wu(D)
q1 +(1)
q2 v 2
q2 + ···
··· v q1 +det(D)