5. Systèmes linéaires
101
où v n est égal à (1)
n
fois la somme des u = F
n
q mineurs principaux d’ordre
n. En particulier, le polynôme caractéristique d’une matrice carrée d’ordre
2v a u tS ()=det(D L)=
2 Wu(D) +det(D)= Par exemple pour la
matrice
D =
3
C
1 4 1
205
112
4
D
les quantités v n valent : v 1 = Wu(D)=1 , v q = ghw(D)=3 et
v 2 =
¯
¯
¯
¯
1 4
20
¯
¯
¯
¯ +
¯
¯
¯
¯
1 1
1 2
¯
¯
¯
¯ +
¯
¯
¯
¯
05
1 2
¯
¯
¯
¯ =0
Diagonalisation. Soit H un espace vectoriel de dimension finie sur C, x
un endomorphisme de H de matrice D.L am a t r i c eD est semblable à une
m a t r i c ed el af o r m e
3
E
E
E
C
D 1 0 ···
0
0 D 2 ···
0
. . .
. . .
00 ··· D s
4
F
F
F
D
où D s est une matrice carrée de polynôme caractéristique ( l )
k l .S i
1 > 2 > === s sont les valeurs propres distinctes de D, le polynôme caractéristique s’écrit
S () = det(D L)=( 1 )
k1 ( 2 )
k2 ===( s )
ks
Le noyau H l = Nhu(D l L)
k l est stable par x et H est somme directe des
sous-espaces H l
H = H 1 H 2 ··· H s
Une matrice D est diagonalisable s’il existe une base dans laquelle D est
semblable à une matrice diagonale G de la forme
G =
3
E
E
E
C
1 0 ··· 0
0 2 ··· 0
. . .
. . .
00··· s
4
F
F
F
D
Soit D une matrice carrée d’ordre q= Si son polynôme caractéristique n’a
que des racines simples 1 > 2 > === q > alors D est diagonalisable.
S ()=det(D L)=( 1 )( 2 ) ===( q )
Une matrice Q est dite nilpotente d’indice s si Q
s =0et Q
n 6 =0 , 1 n
s 1. Par exemple, la matrice suivante est nilpotente.
3
C
034
002
000
4
D