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Généralités sur les matrices
Jordanisation.S o i tD une matrice carrée d’ordre q= I le x i s t eu n eb a s ed e
H telle que la matrice D dans cette base soit de la forme
M =
3
E
E
E
C
1
1 ···
0
0 2 ···
0
. . .
q1
00···
q
4
F
F
F
D
c’est-à-dire formée des valeurs propres sur sa diagonale et des valeurs l =
0 ou 1 sur la diagonale supérieure. La matrice M est appelée forme de
Jordan. Il existe une matrice diagonale G et une matrice nilpotente Q
telles que D = G + Q et GQ = QG= Cette décomposition est unique. On
rappelle également le théorème de Cayley-Hamilton, qui a!rme que si S
est le polynôme caractéristique d’un endomorphisme x, alors S (x)=0.S i
D est la matrice de x dans une base de H> on a S (D)=0= Rappelons que les
valeurs propres d’une matrice hermitienne (resp. symétrique, resp. unitaire)
sont réelles. Une matrice hermitienne D est positive si {
D{ 0, ;{ 5 H.
Cette matrice D est dite définie positive si {
D{ A 0, ;{ 5 H \{0}= Une
matrice hermitienne est définie positive (resp. positive) si et seulement si
toutes ses valeurs propres sont A 0 (resp. 0). Un résultat important pour
les algorithmes numériques est le théorème de Schur qui a!rme que si D est
une matrice carrée à coe!cients complexes, il existe une matrice unitaire
X telle que X
DX soit triangulaire supérieure de la forme
3
E
E
E
E
C
1 e 12 ···
e 1q
0 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . e q1>q
0 ···
0
q
4
F
F
F
F
D
où les l sont les valeurs propres de D= Le corollaire de ce théorème affirme que si D est une matrice hermitienne (ou symétrique réelle), il existe
une matrice unitaire X telle que X
DX = G où G est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de D.Cesv aleurs
propres sont réelles. En particulier, une matrice hermitienne (ou symétrique
réelle) a ses vecteurs propres orthogonaux. Notons que pour qu’une matrice
D soit normale (DD
= D
D), il faut et il su!t qu’elle soit de la forme
D = X
GX où X est une matrice unitaire et G une matrice diagonale. Une
matrice triangulaire supérieure est normale si et seulement si elle est diagonale. Les matrices normales, et en particulier les matrices hermitiennes,
sont diagonalisables.
Normes. Sur l’espace vectoriel P q (C) on emploie traditionnellement plusieurs normes. Soit D une matrice carrée d’ordre q, l’application définie
Généralités sur les matrices
Jordanisation.S o i tD une matrice carrée d’ordre q= I le x i s t eu n eb a s ed e
H telle que la matrice D dans cette base soit de la forme
M =
3
E
E
E
C
1
1 ···
0
0 2 ···
0
. . .
q1
00···
q
4
F
F
F
D
c’est-à-dire formée des valeurs propres sur sa diagonale et des valeurs l =
0 ou 1 sur la diagonale supérieure. La matrice M est appelée forme de
Jordan. Il existe une matrice diagonale G et une matrice nilpotente Q
telles que D = G + Q et GQ = QG= Cette décomposition est unique. On
rappelle également le théorème de Cayley-Hamilton, qui a!rme que si S
est le polynôme caractéristique d’un endomorphisme x, alors S (x)=0.S i
D est la matrice de x dans une base de H> on a S (D)=0= Rappelons que les
valeurs propres d’une matrice hermitienne (resp. symétrique, resp. unitaire)
sont réelles. Une matrice hermitienne D est positive si {
D{ 0, ;{ 5 H.
Cette matrice D est dite définie positive si {
D{ A 0, ;{ 5 H \{0}= Une
matrice hermitienne est définie positive (resp. positive) si et seulement si
toutes ses valeurs propres sont A 0 (resp. 0). Un résultat important pour
les algorithmes numériques est le théorème de Schur qui a!rme que si D est
une matrice carrée à coe!cients complexes, il existe une matrice unitaire
X telle que X
DX soit triangulaire supérieure de la forme
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E
E
E
E
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1 e 12 ···
e 1q
0 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . e q1>q
0 ···
0
q
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F
F
F
F
D
où les l sont les valeurs propres de D= Le corollaire de ce théorème affirme que si D est une matrice hermitienne (ou symétrique réelle), il existe
une matrice unitaire X telle que X
DX = G où G est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de D.Cesv aleurs
propres sont réelles. En particulier, une matrice hermitienne (ou symétrique
réelle) a ses vecteurs propres orthogonaux. Notons que pour qu’une matrice
D soit normale (DD
= D
D), il faut et il su!t qu’elle soit de la forme
D = X
GX où X est une matrice unitaire et G une matrice diagonale. Une
matrice triangulaire supérieure est normale si et seulement si elle est diagonale. Les matrices normales, et en particulier les matrices hermitiennes,
sont diagonalisables.
Normes. Sur l’espace vectoriel P q (C) on emploie traditionnellement plusieurs normes. Soit D une matrice carrée d’ordre q, l’application définie