5. Systèmes linéaires
103
par
kDk s =sup
{6 =0
kD{k o s
k{k o s
avec k{k o s =
Ã
X
l
|{ l |
s
! 1@s
est une norme sur l’espace des matrices à coe!cients complexes P (q> C).
Les normes les plus usuelles sont définies par les relations (s =1> 2> 4)
kDk 1 =m a x
m
X
l
|d lm |
kDk 2 = kD
k 2 =
p
(DD )=
p
(D D)
kDk 4 =m a x
l
X
m
|d lm |
on emploie aussi la norme euclidienne définie par
kDk h =
p
wu(D D)=
3
C
X
l>m
|d l>m |
2
4
D
1@2
elle vérifie l’inégalité
kDk 2 kDk h
s
q kDk 2
;D 5 P q (C)
Toute transformation unitaire X 5 P q (C) laisse invariantes les normes
kDk 2 et kDk h
kDk h = kXDk h = kDX k h
kDk 2 = kXDk 2 = kDX k 2
Soit x un endomorphisme de l’espace vectoriel H, on appelle rayon spectral
de x et on note (x) la borne inférieure des nombres réels kx
q k
1@q pour
tous les entiers q non nuls.
(x)= inf
qA0
kx
q k
1@q
Le rayon spectral est indépendant de la norme choisie. Ce nombre vérifie
les propriétés suivantes
(x) = lim kx
q k
1@q
Le rayon spectral est le plus grand module des valeurs propres de x
(x)= max
5Vs(x)
(||)
Le rayon spectral vérifie
; 5 C
(x)=|| (x)