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Méthodes directes
Le rayon spectral d’une matrice à la puissance q est la puissance q-ième
du rayon spectral de la matrice d’origine
;q 5 N
(x
q )=(x)
q
Si le rayon spectral est nul, alors toutes les valeurs propres de x sont nulles
(x est nilpotent). Soit D 5 P q (C) une matrice à coe!cients complexes et
une norme quelconque, alors le rayon spectral de D est inférieur à la norme
de D.
(D) kDk
5.2 Méthodes directes
5.2.1 Méthode de remontée
On se propose de résoudre l’équation matricielle D{ = e= On suppose
que la matrice D est inversible. Lorsque D est une matrice triangulaire
supérieure (ou inférieure), la résolution du système est immédiate
;
A A ?
A A =
d 11 { 1 + ···+ d 1q { q = e 1
···
d q1>q1 { q1 + d q1>q { q = e q1
d q>q { q = e q
On calcule successivement { q à partir de la dernière équation, puis { q1 à
partir de l’avant-dernière et ainsi de suite. Ce qui donne
;
A A ?
A A =
{ q = e q @d qq
{ q1 =(e q1 d q1>q { q )@d q1>q
···
{ 1 =(e 1 d 12 { 2 === d 1q { q )@d 11
La méthode de remontée s’étend aux matrices triangulaires par blocs. Elle
nécessite q(q 1)@2 additions, q(q 1)@2 multiplications et q divisions.
Étant donné la simplicité de la résolution d’un système triangulaire, de
nombreuses méthodes se ramènent à la résolution d’un système triangulaire.
Le problème est alors de construire par un changement de base une matrice
triangulaire.
5.2.2 Élimination de Gauss
La méthode de triangularisation de Gauss, encore appelée méthode du
pivot de Gauss ou élimination de Gauss, est fondée sur le théorème suivant
qui a!rme que pour une matrice carrée D d’ordre q, il existe au moins une
matrice inversible S telle que SD soit une matrice triangulaire supérieure.