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Systèmes linéaires
L’analyse matricielle étudie deux problèmes fondamentaux : l’inversion
de matrices ou la résolution de systèmes linéaires qui fait l’objet du présent chapitre et le calcul des valeurs et des vecteurs propres d’une matrice
qui sera traité dans le chapitre suivant. Les algorithmes de résolution des
systèmes linéaires se classent en trois grandes catégories : les méthodes directes (méthodes de Gauss, Cholesky, Householder), les méthodes itératives
(méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation) et les méthodes projectives
(méthode de la plus profonde descente et méthodes du gradient conjugué).
Les algorithmes et leurs implantations en machine mettent en jeu des techniques spéciales lorsque les matrices ont des formes particulières (matrices
bandes, tridiagonales, creuses, diagonales par blocs, etc.).
5.1 Généralités sur les matrices
L’ensemble des matrices à p lignes q colonnes à coe!cients dans un
corps K (R ou C) est un espace vectoriel noté P p>q (K) de dimension p×q.
L’ensemble des matrices carrées q × q est simplement noté P (q> K).L e s
théorèmes obtenus dans le cas complexe s’appliquent au cas réel en remplaçant les termes : adjoint (par transposée), complexe (par réel), unitaire
(par orthogonal) et hermitien (par symétrique). La matrice adjointe de D
est notée D
> elle est définie par D
= D
w .U n em a t r i c eD est dite hermitienne si D
= D , autrement dit si ses coe!cients vérifient d ml = d lm (en
particulier ses coe!cients diagonaux sont réels). Une matrice D est dite
Systèmes linéaires
L’analyse matricielle étudie deux problèmes fondamentaux : l’inversion
de matrices ou la résolution de systèmes linéaires qui fait l’objet du présent chapitre et le calcul des valeurs et des vecteurs propres d’une matrice
qui sera traité dans le chapitre suivant. Les algorithmes de résolution des
systèmes linéaires se classent en trois grandes catégories : les méthodes directes (méthodes de Gauss, Cholesky, Householder), les méthodes itératives
(méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation) et les méthodes projectives
(méthode de la plus profonde descente et méthodes du gradient conjugué).
Les algorithmes et leurs implantations en machine mettent en jeu des techniques spéciales lorsque les matrices ont des formes particulières (matrices
bandes, tridiagonales, creuses, diagonales par blocs, etc.).
5.1 Généralités sur les matrices
L’ensemble des matrices à p lignes q colonnes à coe!cients dans un
corps K (R ou C) est un espace vectoriel noté P p>q (K) de dimension p×q.
L’ensemble des matrices carrées q × q est simplement noté P (q> K).L e s
théorèmes obtenus dans le cas complexe s’appliquent au cas réel en remplaçant les termes : adjoint (par transposée), complexe (par réel), unitaire
(par orthogonal) et hermitien (par symétrique). La matrice adjointe de D
est notée D
> elle est définie par D
= D
w .U n em a t r i c eD est dite hermitienne si D
= D , autrement dit si ses coe!cients vérifient d ml = d lm (en
particulier ses coe!cients diagonaux sont réels). Une matrice D est dite