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Intégration de Gauss-Tchebychev
4.11 Intégration de Gauss-Tchebychev
Les polynômes de Tchebychev forment une base orthogonale sur [1> +1]
par rapport à la fonction de pondération z({)=1 @
s
1 { 2 . Les racines
du polynôme W q+1 de degré q +1 sont données par
{ l =cos
µ (2l +1)
2q +2
¶
Les valeurs z l ont, dans ce cas, une expression analytique générale z l
= @(q +1)= Les polynômes de Tchebychev permettent de calculer une
approximation de l’intégrale
Z +1
1
i ({)
1
s
1 { 2
g{ '
q
X
l=1
z l i ({ l )
L’erreur est donnée par
% =
2
2 2q+2 (2q +2)!
i
(2q+2) (f)
Exemple. Pour q =1, le polynôme du second degré W 2 ({)=2{
2 1 admet
deux racines { 0 =1 @
s
2 et { 1 = 1@
s
2. Les valeurs z 0 = z 1 = @2
conduisent à l’approximation
Z +1
1
i ({)
1
s
1 { 2
g{ '
2
(i (1@
s
2) + i (1@
s
2))
4.12 Intégration de Gauss-Hermite
Les polynômes d’Hermite forment une base orthogonale sur l’intervalle
] 4 > +4[ par rapport à la fonction de pondération z({)=h
{
2 = Ils
permettent de calculer une approximation de l’intégrale
Z +1
1
i ({)h
{
2 g{ '
q
X
l=1
z l i ({ l )
L’erreur est donnée par
% =
(q +1)!
s
2 q+1 (2q +2)!
i
(2q+2) (f)
Exemple. Pour q =1 , le polynôme d’Hermite K 2 ({)=4 {
2 2 admet
deux racines { 0 = 1@
s
2 et { 1 =1 @
s
2.L e sv a l e u r sz 0 = z 1 =(
s
)@2
conduisent à l’approximation suivante
Z +1
1
i ({)h
{
2 g{ '
s
2
(i (1@
s
2) + i (1@
s
2))