4. Intégration numérique
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{ 0 = 1@
s
3 et { 1 =1@
s
3 définissant la subdivision de l’intervalle de base.
Les valeurs z l s’en déduisent. La première valeur se calcule par
z 0 =
Z +1
1
{ { 1
{ 0 { 1
g{ =
Z +1
1
{ +1@
s
3
2@
s
3
g{ =1
et de la même manière, on montre que z 1 =1. L’intégrale se réduit à
Z +1
1
i ({)g{ ' i (
1
s
3
)+i (
1
s
3
)
Le changement de variables | =( e + d)@2+( e d){@2 conduit à une
approximation de l’intégrale
Z e
d
i ({)g{ '
e d
2
(i (
e + d
2
e d
2
s
3
)+i (
e + d
2
+
e d
2
s
3
))
Exemple. Pour q =2, le polynôme S 3 ({) admet trois racines, { 0 =
p
3@5,
{ 1 =0et { 2 =
p
3@5. Le calcul des valeurs z 0 = z 2 =5 @9 et z 1 =8 @9
conduit à l’approximation de l’intégrale
Z +1
1
i ({)g{ '
5
9
i (
r
3
5
)+
8
9
i (0) +
5
9
i (
r
3
5
)
4.10 Intégration de Gauss-Laguerre
Les polynômes de Laguerre sont orthogonaux sur l’intervalle [0> 4[ relativement à la fonction de pondération z({)=h
{
. Ils permettent de
calculer une approximation de l’intégrale
Z 4
0
i ({)h
{ g{ '
q
X
l=1
z l i ({ l )
L’erreur est donnée par
% =
[(q + 1)!]
2
(2q +2)!
i
(2q+2) (f)
Exemple. Pour q =1, le polynôme S 2 ({)={
2 4{ +2 admet deux racines
{ 0 =2
s
2 et { 1 =2+
s
2.L e sv a l e u r sd ez l sont z 0 =( 2+
s
2)@4 et
z 1 =(2
s
2)@4. D’où l’approximation
Z 4
0
i ({)h
{ g{ '
2+
s
2
4
i (2
s
2) +
2
s
2
4
i (2 +
s
2)