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Intégration de Gauss-Legendre
En choisissant les points ({ m ) de la subdivision comme les (q+1) racines du
polynôme de degré q +1,onimposed l =0,pourl =0> 1> ===> q et d q+1 6 =0,
c’est-à-dire
q
Y
l=0
({ { l )=
q+1 X
l=0
d l l ({)=d q+1 q+1 ({)
d’où
Z y
x
U q ({)z({)g{ =0
Par conséquent, la méthode de Gauss appliquée à une fonction i conduit
à une approximation de la forme
Z y
x
i ({)z({)g{ =
q
X
l=0
z l i ({ l )+%
avec
z l =
Z y
x
O l ({)z({)g{
L’erreur est de la forme % = % q i
(2q+2) (f) où % q dépend du choix des polynômes orthogonaux ( q ).
4.9 Intégration de Gauss-Legendre
Lorsque la famille de polynômes orthogonaux est la famille des polynômes
de Legendre relative à la fonction de pondération z({)=1sur l’intervalle
[1> 1]> l’intégrale est approchée par la formule
Z +1
1
i ({)g{ =
q
X
l=0
z l i ({ l )+%
où les nombres z l sont donnés par
z l =
Z +1
1
q
Y
m=0
m6 =l
(
{ { m
{ l { m
)g{
et les { l sont les racines du polynôme de Legendre S q+1 = L’erreur s’exprime
par
% =
2
2q+3 [(q + 1)!]
4
(2q +3)[(2q +2)!] 3 i
(2q+2) (f)
avec f 5 [1> +1]
Exemple. Pour q =1 , la relation de récurrence définissant les polynômes
de Legendre donne S 2 ({)=(3{
2 1)@2= Ce polynôme admet deux racines