4. Intégration numérique
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méthodes les plus répandues et les plus précises, car l’intégration est exacte
pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2q+1 (au lieu de q ou q+1
dans les méthodes composées). Soit ( q ) une famille de polynômes orthogonaux pour la fonction $({) sur l’intervalle [x> y]= Cherchons à exprimer
l’intégrale
R y
x
i ({)$({)g{= Écrivons la fonction i en utilisant la formule de
Lagrange
i ({)=
q
X
l=0
O l ({)i ({ l )+
q
Y
l=0
({ { l )
i
(q+1) (f)
(q +1)!
avec f 5 [x> y] et
O l ({)=
q
Y
m=0
m6 =l
(
{ { m
{ l { m
)
Si ( q ) est une base de polynômes orthogonaux pour la fonction de poids
z({),o na
Z y
x
p ({) q ({)z({)g{ =0 si q 6 = p
Développons sur cette base le produit
q
Y
l=0
({ { l )=
q+1 X
l=0
d l l ({)
et si i est un polynôme de degré (2q +1), notons
T q ({)=
i
(q+1) ({)
(q +1)!
=
q
X
l=0
e l q ({)
Le reste s’exprime par
U q ({)=
q
Y
l=0
({ { l )
i
(q+1) ({)
(q +1)!
=
q
X
l=0
q
X
m=0
d l e l l ({) m ({)+d q+1
q
X
l=0
e l l ({) q+1 ({)
d’où en intégrant
Z y
x
i ({)z({)g{ =
Z y
x
q
X
l=0
O l ({)i ({ l )z({)g{ +
Z y
x
U q ({)z({)g{ + %
soit en vertu de l’orthogonalité des polynômes
Z y
x
U q ({)z({)g{ =
q
X
l=0
d l e l
Z y
x
2
l ({)z({)g{