90
Méthode de Romberg
on obtient
L 2 =2ki 1 + === +2ki 2q1
On en déduit l’estimation suivante en prenant la moyenne des deux valeurs
précédentes
L =
L 1 + L 2
2
4.7 Méthode de Romberg
La méthode de W. Romberg (1955) utilise l’extrapolation de Richardson à partir de 2
q
applications de la méthode des trapèzes. Soit D q>0 les
évaluations de l’intégrale par la méthode des trapèzes
;
A A A A ?
A A A A =
D 0>0 =
ed
2 (i (d)+i (e))
D 1>0 =
ed
4 (i (d)+i (e)+2i (d +
ed
2 ))
···
D q>0 =
1
2 D q1>0 +
(ed)
2 q
2
q1 1
P
n=0
i (d +(2n +1)
ed
2 q )
Si la dérivée seconde de i est continue bornée sur [d> e],l as u i t eD q>0
converge vers la valeur exacte de l’intégrale. Pour accélérer la vitesse de
la convergence, on applique l’extrapolation de Richardson, au couple D q>0 ,
D q1>0 pour définir D q>1 qui converge vers la valeur de l’intégrale si la
dérivée quatrième de i est continue bornée.
D q>1 =
4D q>0 D q1>0
3
De proche en proche, on définit ainsi les valeurs extrapolées
D q>o =
4
o D q>o1 D q1>o1
4 o 1
Lorsque q tend vers l’infini, on a alors
D q>o =
Z e
d
i ({)g{ + R(4
q(o+1) )
4.8 Méthodes de Gauss
Les méthodes de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) utilisent une subdivision particulière où les points { m sont les racines d’une famille de polynômes orthogonaux, qui ne sont pas régulièrement espacés, contrairement
aux méthodes composées. La fonction à intégrer est approchée par une interpolation de Lagrange sur les points { m . Les méthodes de Gauss sont les