4. Intégration numérique
89
Pour q =2(méthode de Simpson)
Z { 1
{ 0
i ({) g{ '
k
2
(i ({ 0 )+4i ({ 1 )+i ({ 2 ))
Pour q =3
Z {1
{0
i ({) g{ '
3k
8
(i ({ 0 )+3i ({ 1 )+3i ({ 2 )+i ({ 3 ))
Pour q =4(méthode de Villarceau)
Z {1
{ 0
i ({) g{ '
2k
45
(7i ({ 0 )+32i ({ 1 )+12i ({ 2 )+32i ({ 3 )+7i ({ 4 ))
Pour q =6(méthode de Hardy)
Z { 1
{ 0
i ({) g{ '
k
140
(41i ({ 0 ) + 216i ({ 1 )+27i ({ 2 ) + 272i ({ 3 )+
27i ({ 4 ) + 216i ({ 5 )+41i ({ 6 )
4.6 Méthode de Poncelet
La méthode de Poncelet est une amélioration de la méthode des trapèzes.
L’intervalle de base [d> e] est partagé en 2q parties égales { 0
= d> { 1 >==>{ 2q1 >{ 2q = e.O nn o t ek =(e d)@2q le pas de la subdivision.
Une première valeur approchée de l’intégrale est calculée par la méthode
des trapèzes. Ensuite, sur chaque intervalle [{ 2l2 >{ 2l ],l af o n c t i o ni est
approchée par la tangente de i au point { 2l1 . Une deuxième valeur approchée de l’intégrale est alors calculée. L’intégrale est remplacée par la
moyenne des deux valeurs calculées :
Z e
d
i ({)g{ '
k
4
Ã
i ({ 0 )+i ({ 2q )+7(i ({ 1 )+i ({ 2q1 )) +
q2
8
X
l=1
i ({ 2l+1 )
!
Notons P l le point de coordonnées ({ l >i l ) et i l = i ({ l ). Calculons la
valeur de l’intégrale par la méthode des trapèzes. En remplaçant la courbe
par la ligne polygonale (P 0 >P 1 >P 3 > ===> P 2q3 >P 2q1 >P 2q ),o no b t i e n t
L 1 =
k
2
i 0 +
3
2
ki 1 +2ki 3 +2ki 5 + === +
3
2
ki 2q1 +
k
2
i 2q
La deuxième valeur est obtenue en remplaçant la courbe entre { 2n et { 2n+1
par la tangente au point P 2n+1 . En approchant la pente par l’expression
i
0 ({ 2l+1 )=
i 2l+1 i 2l
k