88
Méthode de Newton-Côtes
Lorsque la subdivision se réduit à sa plus simple expression, { 0 = d, { 1
=(d + e)@2, { 2 = e la formule précédente devient
Z e
d
i ({)g{ '
1
3
(e d)
µ
i (d)+4i (
d + e
2
)+i (e)
¶
La méthode de Simpson est une méthode d’ordre 4. L’erreur dans la méthode de Simpson est donnée par
¯
¯
¯
¯
¯
Z e
d
i ({) g{ V
¯
¯
¯
¯
¯
1
2880
(e d)
5
q 4
sup
{5[d>e]
¯
¯
¯i
(5) ({)
¯
¯
¯
La somme V qui approche l’intégrale s’exprime par
V =
k
2
q1 X
l=0
(i (d + lk)+i (d +(l +1)k)+4i (d + lk +
k
2
))
4.5 Méthode de Newton-Côtes
La méthode de Roger Côtes (1682-1716) publiée en 1707, généralise la
méthode des trapèzes et la méthode de Simpson : la fonction i est approchée par un polynôme de degré q. L’intégrale est évaluée selon l’expression
Z e
d
i ({) g{ ' d 0 i ({ 0 )+d 1 i ({ 1 )+···+ d q i ({ q )
Pour déterminer les coe!cients d m ,i ls u !t d’écrire que la relation précédente est exacte lorsque i est un polynôme de degré inférieur ou égal à
q. En prenant successivement i ({)={
n
pour n =0 > 1> ===> q> on obtient le
système linéaire suivant
;
A A A A A ?
A A A A A =
d 0 + d 1 + ···+ d q = e d
d 0 { 0 + d 1 { 1 + ···+ d q { q =
e
2 d
2
2
===
d 0 {
q
0 + d 1 {
q
1 + ···+ d q {
q
q =
e
q d
q
q +1
Le déterminant de ce système est un déterminant de Vandermonde, qui
vaut ({ 0 { 1 )({ 1 { 2 )===({ q { 0 )= Lorsque les points sont régulièrement
espacés, on obtient les formules de Newton-Côtes. Pour q =1(méthode
des trapèzes)
Z {1
{0
i ({) g{ '
k
2
(i ({ 0 )+i ({ 1 ))