4. Intégration numérique
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4.3 Méthode des trapèzes
Soit i une fonction continue sur [d> e], dérivable sur ]d> e[ et d = { 0
?{ 1 ? === ? { q1 ?{ q = e une subdivision régulière de l’intervalle
[d> e].O nn otek le pas de cette subdivision. Dans la méthode des trapèzes,
la fonction i est remplacée sur chaque intervalle [{ l >{ l+1 ] par la droite
joignant les points ({ l >i({ l )) et ({ l+1 >i({ l+1 )),s o i t
k({)=
({ { l )i ({ l+1 ) ({ { l+1 )i ({ l )
{ l+1 { l
{ 5 [{ l >{ l+1 ]
La méthode s’écrit
Z e
d
i ({)g{ '
q1 X
l=0
({ l+1 { l )
i ({ l )+i ({ l+1 )
2
Lorsque la subdivision se réduit à sa plus simple expression, { 0 = d, { 1 = e
on a
Z e
d
i ({)g{ '
1
2
(e d)(i (d)+i (e))
La méthode des trapèzes est une méthode d’ordre 1. L’erreur dans la méthode des trapèzes est donnée par l’expression
¯
¯
¯
¯
¯
Z e
d
i ({) g{ V
¯
¯
¯
¯
¯
1
12
(e d)
3
q 2
sup
{5[d>e]
|i
00 ({)|
La somme V s’exprime par
V =
k
2
Ã
i (d)+i (e)+
q1 X
l=1
i ({ l )
!
Pour améliorer la précision, on considère parfois la formule des trapèzes
corrigée suivante
Z e
d
i ({) g{ '
k
2
Ã
i (d)+i (e)+
q1 X
l=1
i ({ l )
!
k
2
12
(i
0 (e) i
0 (d))
4.4 Méthode de Simpson
Dans la méthode de Thomas Simpson (1710-1761), la fonction i est
remplacée par un polynôme du second degré définissant un arc de parabole
passant par les points d’ordonnées i ({ l ), i ({ l+1 ) et i ({ l+2 ). La méthode
s’écrit
Z e
d
i ({)g{ '
q1 X
l=0
1
6
({ l+1 { l )
µ
i ({ l+1 )+i ({ l )+4i (
{ l+1 + { l
2
)
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