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Méthode des rectangles
On considère une fonction i continue sur [d> e], dérivable sur l’intervalle
ouvert ]d> e[ et on se donne d = { 0 ?{ 1 ? === ? { q1 ?{ q = e une subdivision régulière de l’intervalle [d> e].O nn o t ek le pas de cette subdivision.
Lorsque la subdivision se réduit à sa plus simple expression, { 0 = d, { 1 = e
on a
Z e
d
i ({)g{ ' (e d)i (d)
La méthode des rectangles est une méthode d’ordre 0. Lorsque la dérivée
première de i est bornée par une constante P , l’erreur dans la méthode
des rectangles est donnée par l’expression
¯
¯
¯
¯
¯
Z e
d
i ({) g{ k
q1 X
l=0
i (d + lk)
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
(e d)
2
q
sup
{5[d>e]
|i
0 ({)|
En eet, posons
I (k)=
Z +k
i ({) g{
On a I
0 (k)=i ( + k) et I
00 (k)=i
0 ( + k)= En appliquant la formule de
Taylor au deuxième ordre
k[>I (k)=I (0) + kI
0 (0) +
k
2
2
I
00 (f)
Soit encore
k[>
Z +k
i ({) g{ = ki ()+
k
2
2
i
0 ( + f)
Posons
V = k
q1 X
l=0
i (d + lk)
En appliquant la formule précédente, on obtient la majoration cherchée
¯
¯
¯
¯
¯
Z e
d
i ({) g{ V
¯
¯
¯
¯
¯
q1 X
l=0
¯
¯
¯
¯
¯
Z d+(l+1)k
d+lk
i ({) g{ ki ({ l )
¯
¯
¯
¯
¯
k
2
2
q1 X
l=0
|i
0 (d + lk + f)|
1
2
(e d)
2
q
sup
{5[d>e]
|i
0 ({)|
puisque k =(e d)@q=