4. Intégration numérique
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la fonction u n est définie par u n ({)={
n+1
. Pour démontrer ce résultat,
appliquons la formule de Taylor au point d. On a, puisque { w
i ({)=s n ({)+
1
n!
Z {
d
({ w)
n
+
i
(n+1) (w) gw
où s n est un polynôme de degré inférieur ou égal à n. Comme la méthode
est d’ordre n, l’erreur h(s n )=0est nulle. Par conséquent
h(i )=
1
n!
" Z e
d
Z e
d
({ w)
n
+
i
(n+1) (w) gwg{
q1 X
l=0
d l
Z e
d
({ l w)
n
+
i
(n+1) (w) gw
#
d’où
h(i )=
1
n!
Z e
d
( Z e
d
({ w)
n
+
g{
q1 X
l=0
d l ({ l w)
n
+
)
i
(n+1) (w) gw
soit finalement
h(i )=
1
n!
Z e
d
N(w) i
(n+1) ({) g{
Supposons que N soit de signe constant, appliquons la deuxième formule
de la moyenne
e]>h (i )=
i
(n+1) (f)
n !
Z e
d
N(w) gw
en introduisant la fonction u n pour laquelle
h(u n )=(n +1)
Z e
d
N(w) gw
on trouve la formule proposée.
4.2 Méthode des rectangles
Dans la méthode des rectangles, on remplace la fonction à intégrer i par
une fonction constante par morceaux k({) sur chaque intervalle élémentaire
[{ l >{ l+1 ]> soit par les rectangles à gauche : k({)=i ({ l ) pour { 5 [{ l >{ l+1 ]
Z e
d
i ({)g{ '
q1 X
l=0
({ l+1 { l )i ({ l )
soit par les rectangles à droite : k({)=i ({ l+1 ) pour { 5 [{ l >{ l+1 ]
Z e
d
i ({)g{ '
q1 X
l=0
({ l+1 { l )i ({ l+1 )