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Principes généraux
Une méthode d’intégration est dite d’ordre n si l’erreur commise en approchant l’intégrale par une somme discrète
h(i )=
Z e
d
i ({) g({)
q1 X
l=0
d l i ({ l )
est nulle lorsque i est un polynôme de degré inférieur ou égal à n et non
nulle pour au moins un polynôme de degré supérieur ou égal à n +1.O n
rappelle le théorème de Rolle (1690). Soit S un polynôme. Entre deux
racines de l’équation S ({)=0,i le x i s t ea um o i n su n er a c i n ed el ’ é q u a t i o n
dérivée S
0 ({)=0 . Lorsque i est une fonction numérique intégrable sur
un intervalle [d> e],l apremière formule de la moyenne a!rme que si i est
continue alors il existe un nombre f 5]d> e[ tel que
Z e
d
i ({)g{ = i (f)(e d)
et la deuxième formule de la moyenne assure, lorsque $ est une fonction
positive intégrable sur ]d> e[ telle que l’intégrale
R e
d
$({)g{ converge et pour
toute fonction continue i sur [d> e], l’existence d’un point f 5]d> e[ tel que
Z e
d
i ({)$({)g{ = i (f)
Z e
d
$({)g{
Soit x un opérateur linéaire borné, on appelle noyau de Peano,l af o n c t i o n
N(w)=x(v w ) où v w est la fonction
½
v w ({)=({ w)
n
+ = vxs(0> ({ w)
n )
si n 6 =0
v w ({)=1 [w>4[ ({)
si n =0
Lorsque x est l’erreur d’une méthode d’intégration d’ordre n,l af o n c t i o n
N(w)=h(v w ) est le noyau de Peano associé à cette méthode
N(w)=h(v w )=
Z e
d
({ w)
n
+ g({)
q1 X
l=0
d l ({ l w)
n
+
Pour une méthode numérique d’ordre n et pour une fonction i de classe
F
n+1
sur un intervalle [d> e]> l’erreur d’intégration est donnée par
h(i )=
Z e
d
i ({) g{
q1 X
l=0
d l i ({ l )=
1
n!
Z e
d
N(w) i
(n+1) ({) g{
N(w) désigne le noyau de Peano associé à la méthode numérique. Si N garde
un signe constant sur [d> e], alors il existe f 5 [d> e] tel que
h(i )=
i
(n+1) ({)
(n +1)!
h(u n )