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Méthode d’Aitken
sa dérivée s’écrit
S
0 ({)=S ({)
q
X
l=0
1
({ { l )
= S ({)(q{
1 + V 1 {
2 + V 2 {
3 + ===)
en identifiant avec l’expression de S
0
S
0 ({)=qd 0 {
q1 +(q 1)d 1 {
q2 + === + d q1
on obtient les formules de calcul des V m
;
A A A A A A ?
A A A A A A =
d 0 V 1 + d 1 =0
d 0 V 2 + d 1 V 1 +2d 2 =0
···
d 0 V s + d 1 V s1 + ···+ d s1 V 1 + sd s =0
···
d 0 V q + d 1 V q1 + ···+ d q1 V 1 + qd q =0
Les déterminants
G l (n)=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
V n
V n+1 ··· V n+l1
V n1
V n
··· V n+l2
. . .
. . .
. . .
V nl+1 V nl+2 ···
V n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
vérifient la formule de récurrence suivante
G l+1 (n)=
1
G l1 (n)
¯
¯
¯
¯
G l (n)
G l (n +1)
G l (n 1)
G l (n)
¯
¯
¯
¯
ce qui permet de démontrer la formule donnant le produit de m racines
S m = lim
n$ 4
G m (n +1)
G m (n)
= { 1 { 2 { 3 ==={ m
La méthode d’Aitken consiste à calculer à partir des sommes V m les déterminants G m de façon à déterminer le produit des racines.
Exemple. Considérons l’équation
{
3 6{
2 +11{ 6=0
Cette équation admet trois racines distinctes 1, 2 et 3. Calculons les sommes
V 0 =3, V 1 = d 1 @d 0 =6, V 2 =14, etc. À partir de ces valeurs, on calcule
les déterminants G 1 (n), G 2 (n) et G 3 (n). D’où les valeurs
{ 1 =
G 1 (12)
G 1 (11)
=
535538
179196
=2=988===