3. Résolution d’équations
79
est alors le suivant : On se donne deux constantes arbitraires s 0 et t 0 et on
calcule les coe!cients e q définis par
;
A A A A A A ?
A A A A A A =
e 0 = d 0
e 1 = d 1 s 0 e 0
e 2 = d 2 s 0 e 1 t 0 e 0
···
e q1 = d q1 s 0 e q2 t 0 e q3
e q = d q s 0 e q1 t 0 e q2
On calcule ensuite les coe!cients f q définis par
;
A A A A A A ?
A A A A A A =
f 0 = e 0
f 1 = e 1 s 0 f 0
f 2 = e 2 s 0 f 1 t 0 f 0
···
f q1 = e q1 s 0 f q2 t 0 f q3
f q = e q s 0 f q1 t 0 f q2
En posant
s 1 =
e q1 f q2 e q f q3
f 2
q2 f q1 f q3
t 1 =
e q f q2 e q1 f q1
f 2
q2 f q1 f q3
On reprend les mêmes opérations avec les valeurs de s 1 >t 1 àl ap l a c ed e
s 0 >t 0 , et ainsi de suite. On obtient de cette manière un couple (s m >t m ).O n
arrête l’itération lorsque le test d’arrêt suivant pour % donné, est vérifié
|s m s m1 | + |t m t m1 |
|s m + t m |
?%
La résolution du trinôme {
2 + s m { + t m =0donne deux racines de S q ({).
On recommence les mêmes opérations avec le polynôme S q2 ({) jusqu’à
ce que le polynôme résiduel soit de degré inférieur à 2.
3.13 Méthode d’Aitken
Soit S ({)=d 0 {
q + d 1 {
q1 + ···+ d q1 { + d q un polynôme de degré q.
Notons { 1 >{ 2 > ===> { q ses racines et considérons les sommes
V s = {
s
1 + {
s
2 + ···+ {
s
q =
q
X
l=0
{
s
l
Comme S ({) se factorise
S ({)=d 0 ({ { 1 )({ { 2 )===({ { q )