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Méthode de Frobenius
3.11 Méthode de Frobenius
La méthode de Frobenius, encore appelée méthode de la matrice associée
ou de la matrice compagnon, permet de déterminer les zéros d’un polynôme
en résolvant un problème de détermination de valeurs propres. Soit S ({)
le polynôme
S ({)={
q + d q1 {
q1 + ···+ d 1 { + d 0
et D la matrice compagne (ou compagnon)
D =
3
E
E
E
E
E
C
00···
0
d 0
10···
0
d 1
01···
0
d 2
. . .
. . . ···
. . .
00···
1 d q1
4
F
F
F
F
F
D
Comme
S ({)=(1)
q ghw(D {L)
les zéros de S ({) sont les valeurs propres de D.I ls u !td o n cd es a v o i r
déterminer les valeurs propres d’une matrice pour résoudre une équation
polynomiale. Si le polynôme est de la forme
T({)=e q {
q + e q1 {
q1 + ···+ e 1 { + e 0
avec e q 6 =0 ,i ls u !t de diviser chaque coe!cient par e q , et d’appliquer la
méthode de Frobenius pour trouver les racines de T qui coïncident avec les
racines de T@e q .
3.12 Méthode de Bairstow
La méthode de Bairstow permet de déterminer les zéros d’un polynôme.
C’est une application de la méthode de Newton-Raphson, qui consiste à
factoriser à chaque étape un trinôme du second degré dont les racines sont
les racines du polynôme initial. Soit
S ({)=d 0 {
q + d 1 {
q1 + ···+ d q1 { + d q
on écrit S sous la forme
S ({)=({
2 + s{ + t)S q2 ({)+U{ + V
avec
S q2 ({)=e 0 {
q2 + ···+ e q3 { + e q2
et on cherche à déterminer s et t de façon à annuler U et V (ce qui n’est
pas toujours possible). On pose e q1 = U et V = se q1 + e q . L’algorithme