3. Résolution d’équations
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3.9 Méthode de Steensen
Pour améliorer la convergence de la méthode des approximations successives, Aitken a démontré que la suite | q donnée par l’expression
| q = { q
({ q+1 { q )
2
({ q+2 2{ q+1 + { q )
converge plus rapidement que la suite { q .S t e ensen a donc proposé de
remplacer le calcul de { q par celui de | q = Ce qui revient à considérer la
fonction
*({)=
{x (x({)) x
2 ({)
x (x({)) 2x({)+{
avec x({)={ i ({).
3 . 1 0 M é t h od ed eB r e n t
La méthode de Brent est une amélioration d’une méthode inventée dans
les années 60 par Van Wijgaarden et Dekker et qui consiste à combiner la
méthode de la bissection et l’approximation quadratique. Comme dans la
méthode de la bissection, on construit trois suites de points d q , e q et f q et
à chaque itération, on évalue l’interpolation
{ q =
(| i (d q ))(| i (f q ))e q
(i (e q ) i (d q ))(i (e q ) i (f q ))
+
(| i (f q ))(| i (e q ))d q
(i (d q ) i (f q ))(i (d q ) i (e q ))
+
(| i (e q ))(| i (d q ))f q
(i (f q ) i (e q ))(i (f q ) i (d q ))
Cette expression peut encore s’écrire pour | =0sous la forme
{ q = f q +
S q
T q
Les quantités S q et T q sont déterminées par les relations
S q =(D q E q )E q F q (e q f q ) (1 D q )E q (f q d q )
et
T q =(D q 1)(E q 1)(F q 1)
avec
D q =
i (f q )
i (e q )
E q =
i (f q )
i (d q )
F q =
i (d q )
i (e q )
L’expression S q @T q est un résidu qui diminue à chaque pas. La suite { q
converge vers la solution f q .