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M é t h o d ed eN e w t o n - R a p h s o n
sur X
< PA0>
kGi({) Gi(|)k P k{ |k
;{> | 5 X
et telle qu’il existe un point { 0 de X au voisinage duquel Gi({ 0 ) soit un
isomorphisme local. Alors la suite ({ q ) définie par la relation de récurrence
{ q+1 = { q (Gi({ q ))
1 i ({ q )
converge vers l’unique solution de l’équation i ({)=0.
La formule de récurrence ore une formule itérative qu’on initialise à partir
d’un point arbitraire su!samment voisin de la racine que l’on cherche à
déterminer. Lorsque i est une fonction à variable réelle, la formule donnant
{ q+1 est l’intersection de la tangente passant par le point ({ q >i({ q )) avec
l’axe des abscisses
{ q+1 = { q
i ({ q )
i 0 ({ q )
Lorsque la racine est double, on se ramène à une racine simple en remplaçant la fonction i par la fonction i ({)@i
0 ({). On arrête l’itération lorsque
la diérence entre deux pas consécutifs est inférieure à la précision souhaitée |{ q+1 { q | ?%. Cette méthode qui converge très rapidement sert aussi
à la résolution de systèmes non linéaires.
Exemple. Considérons le système
½
{ |
2 + {h
| =2
|h
| + {
3 =1
La fonction i ({> |)=({ |
2 + {h
| 2 , |h
| + {
3 1) est de classe F
1
sur
R
2 = Elle admet pour dérivée la matrice
i
0 ({> |)=
µ
1+h
|
2| + {h
|
3{
2
(| +1)h
|
¶
La suite ({ q+1 >| q+1 ) est donc définie par :
µ
{ q+1
| q+1
¶
=
µ
{ q
| q
¶
1
D=E
avec
D =
µ
(| q +1)h
| q
2| q { q h
| q
3{
2
q
1+h
|q
¶
et E =
µ
{ q |
2
q + { q h
| q 2
| q h
|q + {
3
q 1
¶
=d e ti
0 ({ q >| q ) est le déterminant de la dérivée. En partant du point
({ 0 =2 >| 0 = 2)> on obtient successivement ({ 1 =1 =45>| 1 = 0=89)>
({ 2 =1 > 18>| 2 = 0> 35) ({ 3 =1 > 06>| 3 = 0> 11) ({ 4 =1 > 015>| 4
= 0> 024)> etc. qui converge très rapidement vers la solution exacte { =1>
| =0. Noter qu’en partant du point ({ 0 =1>| 0 =1)> le système converge
vers une autre solution { 0=9297===> | 0=1662===