3. Résolution d’équations
75
3.6 Méthode de Müller
Connaissant la fonction i en trois points ({ q2 , { q1 , { q ), on approche
i ({) par un polynôme S ({) de Lagrange de degré 2. En résolvant l’équation
S ({)=0, on obtient une approximation de la racine de i ({) qui est notée
{ q+1 . On itère l’opération en prenant comme triplet ({ q1 , { q , { q+1 ).
On a
S ({)=
({ { q1 )({ { q2 )
({ q { q1 )({ q { q2 )
i ({ q )
+
({ { q )({ { q2 )
({ q1 { q )({ q1 { q2 )
i ({ q1 )
+
({ { q )({ { q1 )
({ q2 { q )({ q2 { q1 )
i ({ q2 )
Ce polynôme est de la forme d q {
2 + e q { + f q .O nr é s o u tS ({)=0en
calculant le discriminant et en prenant la racine { q+1 la plus proche de { q .
3.7 Méthode de la bissection
Dans la méthode de dichotomie ou méthode de la bissection, l’intervalle
de recherche de la solution est coupé en deux à chaque pas d’itération.
On détermine progressivement un intervalle de plus en plus fin dans lequel
se trouve la solution cherchée. Soit i une fonction numérique strictement
monotone sur un intervalle [d> e]. On suppose que l’équation i ({)=0n’a
qu’une et une seule solution dans cet intervalle. On se propose de déterminer
cette valeur x avec une précision donnée. Soit [d 0 >e 0 ] un intervalle dans
lequel i (d 0 )i (e 0 ) ? 0.O nn o t ef 0 =(d 0 + e 0 )@2 le centre de l’intervalle. Si
i (f 0 )i (d 0 ) ? 0> alors la racine x appartient à l’intervalle [d 0 >f 0 ]= On reprend
le procédé avec d 1 = d 0 et e 1 = f 0 . Sinon, c’est-à-dire si i (f 0 )i (d 0 ) A 0> on
pose d 1 = f 0 et e 1 = e 0 . On construit ainsi une suite d’intervalles emboîtés
[d q >e q ] de longueur (d 0 + e 0 )@2
q = Les suites d q et e q sont adjacentes et
convergent vers x.
3.8 Méthode de Newton-Raphson
La méthode de Newton-Raphson, encore appelée méthode des tangentes a
été exposée par Newton vers 1669 et complétée par Joseph Raphson (16481715) en 1690. C’est une méthode par approximations successives fondée
sur le théorème suivant :
Soit H et I deux espaces de Banach, X un ouvert de H, i une application de
X dans I de classe F
1
telle que la diérentielle Gi de i soit lipschitzienne
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3.6 Méthode de Müller
Connaissant la fonction i en trois points ({ q2 , { q1 , { q ), on approche
i ({) par un polynôme S ({) de Lagrange de degré 2. En résolvant l’équation
S ({)=0, on obtient une approximation de la racine de i ({) qui est notée
{ q+1 . On itère l’opération en prenant comme triplet ({ q1 , { q , { q+1 ).
On a
S ({)=
({ { q1 )({ { q2 )
({ q { q1 )({ q { q2 )
i ({ q )
+
({ { q )({ { q2 )
({ q1 { q )({ q1 { q2 )
i ({ q1 )
+
({ { q )({ { q1 )
({ q2 { q )({ q2 { q1 )
i ({ q2 )
Ce polynôme est de la forme d q {
2 + e q { + f q .O nr é s o u tS ({)=0en
calculant le discriminant et en prenant la racine { q+1 la plus proche de { q .
3.7 Méthode de la bissection
Dans la méthode de dichotomie ou méthode de la bissection, l’intervalle
de recherche de la solution est coupé en deux à chaque pas d’itération.
On détermine progressivement un intervalle de plus en plus fin dans lequel
se trouve la solution cherchée. Soit i une fonction numérique strictement
monotone sur un intervalle [d> e]. On suppose que l’équation i ({)=0n’a
qu’une et une seule solution dans cet intervalle. On se propose de déterminer
cette valeur x avec une précision donnée. Soit [d 0 >e 0 ] un intervalle dans
lequel i (d 0 )i (e 0 ) ? 0.O nn o t ef 0 =(d 0 + e 0 )@2 le centre de l’intervalle. Si
i (f 0 )i (d 0 ) ? 0> alors la racine x appartient à l’intervalle [d 0 >f 0 ]= On reprend
le procédé avec d 1 = d 0 et e 1 = f 0 . Sinon, c’est-à-dire si i (f 0 )i (d 0 ) A 0> on
pose d 1 = f 0 et e 1 = e 0 . On construit ainsi une suite d’intervalles emboîtés
[d q >e q ] de longueur (d 0 + e 0 )@2
q = Les suites d q et e q sont adjacentes et
convergent vers x.
3.8 Méthode de Newton-Raphson
La méthode de Newton-Raphson, encore appelée méthode des tangentes a
été exposée par Newton vers 1669 et complétée par Joseph Raphson (16481715) en 1690. C’est une méthode par approximations successives fondée
sur le théorème suivant :
Soit H et I deux espaces de Banach, X un ouvert de H, i une application de
X dans I de classe F
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telle que la diérentielle Gi de i soit lipschitzienne