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Approximations successives
soient positifs, c’est-à-dire que les quantités
1 = d 1
2 =
¯
¯
¯
¯
d 1 d 0
d 3 d 2
¯
¯
¯
¯
3 =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
d 1 d 0 0
d 3 d 2 d 1
d 5 d 4 d 3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
q =det(D)
soient positives. Comme q = d q = q1 , on peut remplacer la condition
q A 0 par d q A 0.
3.4 Approximations successives
Dans les méthodes d’approximations successives, l’équation i ({)=0est
remplacée par l’étude d’une suite numérique convergente
{ q+1 = *({ q )
qui permet d’obtenir en un nombre fini d’itérations une solution approchée
de l’équation. En général, on prend *({)={ fi ({)= Dans la méthode de
Lagrange, on remplace la fonction i par le segment de droite passant par
les points (d> i (d)) et (e> i (e))
*({)=d i (d)
{ d
i ({) i (d)
Dans la méthode de Newton, on remplace la fonction i entre les points
d’abscisse d et e par la tangente à la courbe en ces points
*({)={
i ({)
i 0 ({)
3.5 Méthode de la sécante
La m é t h o d ed el as é c a n t e , encore appelée méthode de la fausse position
ou “regula falsi ”, a été employée au XVI
h
siècle par Viète (1540-1603) puis,
plus tard par Descartes (1596-1650). C’est une méthode par approximations
successives, fondée sur la formule itérative suivante
{ q+1 =
{ q1 i ({ q ) { q i ({ q1 )
i ({ q ) i ({ q1 )
Elle correspond à la méthode de Newton dans laquelle la dérivée i
0 ({ q ) est
remplacée par le taux d’accroissement selon l’approximation
i
0 ({ q ) '
i ({ q ) i ({ q1 )
{ q ) { q1
On arrête l’itération lorsque la diérence entre deux pas successifs devient
inférieure à une certaine valeur %. La méthode est d’ordre (1 +
s
5)@2.(V oir
exercices.)