3. Résolution d’équations
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première suite diminué de celui que présente la deuxième suite. Ce nombre
est égal à l’indice de S
0 @S entre d et e
L(
S
0
S
>d>e)=
Z e
d
S
00 S S
02
S 02 + S 2 g{ Dufwj
µ S
0 (e)
S (e)
¶
+ Dufwj
µ S
0 (d)
S (d)
¶
Exemple. Soit S ({)={
3 { un polynôme de degré 3. S admet trois
racines distinctes ({ = 1> 0> 1)= Cherchons le nombre de racines de P
dans l’intervalle [2> 2]. La suite de Sturm s’écrit S 0 ({)={
3 { , S 1 ({)
=3 {
2 1>S 2 ({)=
2
3
{ et S 3 ({)=1 = Les diérentes valeurs de S l ({) aux
points d = 2 et e =2sont résumées dans le tableau suivant :
{
S 0 S 1
S 2
S 3
2 6 11 4@3 1
2
6
11
4@3
1
La suite S l (2) change trois fois de signe et la suite S l (2) reste constante.
L’indice est donc égal à 3 0=3 . Le polynôme S ({) admet donc trois
racines réelles dans l’intervalle [2> 2]. Ce calcul peut aussi s’eectuer en
intégrant l’expression ci-dessus, soit
L(
S
0
S
>d>e)=x(e) x(d) Dufwj
µ 3e
2 1
e 3 e
¶
+ Dufwj
µ 3d
2 1
d 3 d
¶
avec
x(w)=Dufwj(11w
3 +
3
2
w
5
7
2
w) Dufwj(
25
6
w +
1
2
w
3 ) Dufwj(
1
3
w)
En remplaçant d et e par leurs valeurs, on retrouve la valeur précédente
L =3.
Notons enfin le critère de Routh-Hurwitz qui établit une condition nécessaire et su!sante pour qu’un polynôme S ({)=d q {
q + d q1 {
q1 + ···+
d 1 { + d 0 àcoe!cients réels ait toutes ses racines à parties réelles négatives.
P o u rc e l ai lf a u te ti ls u !t que tous les mineurs diagonaux de la matrice
de Hurwitz
D =
3
E
E
E
E
E
C
d 1 d 0 0 ··· ··· ··· 0
d 3 d 2 d 1 d 0
0 ··· 0
d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 ··· 0
. . .
. . .
00··· ··· ··· ··· 0
4
F
F
F
F
F
D