72
Localisation des racines
continue, on déduit de { q+1 = i ({ q ) que x est un point fixe x = i (x).
L ’ u n i c i t éd é c o u l ed el ap r o p r i é t éd ei .S u p p o s o n sq u ey soit un deuxième
point fixe de i ,onauraitg(x> y)=g(i (x)>i(y)) ng(x> y) d’où g(x> y)=0
et donc x = y. Par exemple, la fonction i ({)=d{ + e,a v ec|d| ? 1 conduit
à
i
q ({)=d
q { + e
1 d
q
1 d
Le point fixe de i est donné par x = lim i
q ({)=
e
1 d
Il existe beaucoup de théorèmes de points fixes, qui se fondent sur des propriétés topologiques. Le théorème de Brouwer a!rme que toute application
continue i du disque
G
2 = {({> |) 5 R × R : {
2 + |
2 1}
sur lui-même admet au moins un point fixe. Car si i n’a pas de point fixe,
on démontre qu’alors le cercle V
1
serait contractile, c’est-à-dire homotope
à un point, ce qui est faux. Le théorème de Tychonov , qui généralise un
résultat de Schauder, a!rme que si H est un espace séparable localement
convexe et i une fonction définie sur un sous-ensemble compact convexe D
de H et à valeurs dans D, alors i admet dans D au moins un point fixe.
3.3 Localisation des racines
En pratique, la mise en œuvre d’un algorithme de recherche de solution d’équations suppose que nous connaissons une région dans laquelle
se trouve cette solution. La théorie donne quelques critères de localisation lorsque l’équation est une équation polynomiale. Le théorème de Rolle
(1690) a!rme qu’entre deux racines de l’équation S ({)=0où S est un
polynôme, il existe au moins une racine de l’équation dérivée S
0 ({)=0= La
règle de Descartes a!rme que le nombre de racines positives d’un polynôme
S ({)=d 0 + d 1 { + === + d q {
q
est inférieur au nombre de changements de signes de la suite (d 0 >d 1 > ===d q ).
Le théorème de Sturm (1829) donne un algorithme pour déterminer le
nombre de racines d’un polynôme entre deux réels. Soit d et e deux nombres
réels d?eet S un polynôme de degré q n’ayant que des racines simples.
On note S 0 = S , S 1 = S
0
, S 2 = T 2 S 1 S 0 l’opposé du reste de la division euclidienne de S 0 par S 1 , ..., et S l+2 = T l+2 S l+1 S l l’opposé du
reste de la division euclidienne de S l par S l+1 .O nc o n s i d è r eS l (d) la suite
S 0 (d)>S 1 (d)> ===> S q (d) et S l (e) la suite S 0 (e)>S 1 (e)> ===> S q (e) et on suppose
que S 0 (d) 6 =0 >S 1 (d) 6 =0 . Le nombre de racines réelles de S ({) comprises
entre d et e est égal au nombre de changements de signes que présente la
Localisation des racines
continue, on déduit de { q+1 = i ({ q ) que x est un point fixe x = i (x).
L ’ u n i c i t éd é c o u l ed el ap r o p r i é t éd ei .S u p p o s o n sq u ey soit un deuxième
point fixe de i ,onauraitg(x> y)=g(i (x)>i(y)) ng(x> y) d’où g(x> y)=0
et donc x = y. Par exemple, la fonction i ({)=d{ + e,a v ec|d| ? 1 conduit
à
i
q ({)=d
q { + e
1 d
q
1 d
Le point fixe de i est donné par x = lim i
q ({)=
e
1 d
Il existe beaucoup de théorèmes de points fixes, qui se fondent sur des propriétés topologiques. Le théorème de Brouwer a!rme que toute application
continue i du disque
G
2 = {({> |) 5 R × R : {
2 + |
2 1}
sur lui-même admet au moins un point fixe. Car si i n’a pas de point fixe,
on démontre qu’alors le cercle V
1
serait contractile, c’est-à-dire homotope
à un point, ce qui est faux. Le théorème de Tychonov , qui généralise un
résultat de Schauder, a!rme que si H est un espace séparable localement
convexe et i une fonction définie sur un sous-ensemble compact convexe D
de H et à valeurs dans D, alors i admet dans D au moins un point fixe.
3.3 Localisation des racines
En pratique, la mise en œuvre d’un algorithme de recherche de solution d’équations suppose que nous connaissons une région dans laquelle
se trouve cette solution. La théorie donne quelques critères de localisation lorsque l’équation est une équation polynomiale. Le théorème de Rolle
(1690) a!rme qu’entre deux racines de l’équation S ({)=0où S est un
polynôme, il existe au moins une racine de l’équation dérivée S
0 ({)=0= La
règle de Descartes a!rme que le nombre de racines positives d’un polynôme
S ({)=d 0 + d 1 { + === + d q {
q
est inférieur au nombre de changements de signes de la suite (d 0 >d 1 > ===d q ).
Le théorème de Sturm (1829) donne un algorithme pour déterminer le
nombre de racines d’un polynôme entre deux réels. Soit d et e deux nombres
réels d?eet S un polynôme de degré q n’ayant que des racines simples.
On note S 0 = S , S 1 = S
0
, S 2 = T 2 S 1 S 0 l’opposé du reste de la division euclidienne de S 0 par S 1 , ..., et S l+2 = T l+2 S l+1 S l l’opposé du
reste de la division euclidienne de S l par S l+1 .O nc o n s i d è r eS l (d) la suite
S 0 (d)>S 1 (d)> ===> S q (d) et S l (e) la suite S 0 (e)>S 1 (e)> ===> S q (e) et on suppose
que S 0 (d) 6 =0 >S 1 (d) 6 =0 . Le nombre de racines réelles de S ({) comprises
entre d et e est égal au nombre de changements de signes que présente la