3. Résolution d’équations
71
Cette équation se résout comme une équation du second degré lorsque
t =0. Dans le cas contraire, Ferrari propose de l’exprimer sous la forme
({
2 +
1
2
|)
2 =(| s){
2 t{ +
1
4
|
2 u
et de déterminer | de telle sorte que le deuxième membre soit un carré
du type (p{ + q)
2
. Pour cela on démontre qu’il faut et il su!tq u el e
discriminant t
2 4(
1
4 |
2 u) soit nul, autrement dit que | vérifie l’équation
du troisième degré, appelée résolvante
|
3 s|
2 4u| +4su t
2 =0
Ainsi, la résolution d’une équation du quatrième degré se ramène à la résolution d’une équation du troisième degré.
L’équation générale de degré supérieur ou égal à 5 n’est pas résoluble par
radicaux. Ce résultat a été démontré par N.H. Abel en 1824. Il se déduit
des travaux d’Évariste Galois qui a attaché à chaque équation un groupe
sur lequel on lit directement les propriétés de l’équation. Il traduit le fait
que le groupe symétrique a une structure plus pauvre lorsque q 5> car le
groupe alterné n’a pas de sous-groupe distingué propre.
3.2 Théorèmes de points fixes
Soit i une application d’un ensemble H dans lui-même. On appelle point
fixe d’une application i tout élément x 5 H tel que i (x)=x.O nv o i t
que résoudre ce type d’équation est un cas particulier des équations numériques k(x)=i (x) x =0. De nombreux résultats a!rment l’existence de
points fixes. Lorsque l’ensemble H est un espace de Banach (c’est-à-dire un
espace vectoriel normé complet), toute application contractante (i.e. toute
application lipschitzienne de rapport n?1)deH dans lui-même admet un
et un seul point fixe x tel que
;{ 5 H>
x = lim
q
i
q ({)
En eet, soit { 0 un point de H et { q la suite définie par { q+1 = i ({ q ). Cette
suite est une suite de Cauchy, car i est contractante. Comme g({ q >{ q+1 )
ng({ q1 >{ q )> on a g({ q >{ q+1 ) n
q g({ 0 >{ 1 ), et par suite, l’inégalité
g({ q >{ q+s )
q+s1 X
l=q
g({ l >{ l+1 ) g({ 0 >{ 1 )
4
X
l=q
n
l =
n
q
1 n
g({ 0 >{ 1 )
Comme 0 n?1,l as u i t e{ q est bien une suite de Cauchy. L’espace H
étant complet, la suite { q converge. Soit x sa limite. La fonction i étant
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Cette équation se résout comme une équation du second degré lorsque
t =0. Dans le cas contraire, Ferrari propose de l’exprimer sous la forme
({
2 +
1
2
|)
2 =(| s){
2 t{ +
1
4
|
2 u
et de déterminer | de telle sorte que le deuxième membre soit un carré
du type (p{ + q)
2
. Pour cela on démontre qu’il faut et il su!tq u el e
discriminant t
2 4(
1
4 |
2 u) soit nul, autrement dit que | vérifie l’équation
du troisième degré, appelée résolvante
|
3 s|
2 4u| +4su t
2 =0
Ainsi, la résolution d’une équation du quatrième degré se ramène à la résolution d’une équation du troisième degré.
L’équation générale de degré supérieur ou égal à 5 n’est pas résoluble par
radicaux. Ce résultat a été démontré par N.H. Abel en 1824. Il se déduit
des travaux d’Évariste Galois qui a attaché à chaque équation un groupe
sur lequel on lit directement les propriétés de l’équation. Il traduit le fait
que le groupe symétrique a une structure plus pauvre lorsque q 5> car le
groupe alterné n’a pas de sous-groupe distingué propre.
3.2 Théorèmes de points fixes
Soit i une application d’un ensemble H dans lui-même. On appelle point
fixe d’une application i tout élément x 5 H tel que i (x)=x.O nv o i t
que résoudre ce type d’équation est un cas particulier des équations numériques k(x)=i (x) x =0. De nombreux résultats a!rment l’existence de
points fixes. Lorsque l’ensemble H est un espace de Banach (c’est-à-dire un
espace vectoriel normé complet), toute application contractante (i.e. toute
application lipschitzienne de rapport n?1)deH dans lui-même admet un
et un seul point fixe x tel que
;{ 5 H>
x = lim
q
i
q ({)
En eet, soit { 0 un point de H et { q la suite définie par { q+1 = i ({ q ). Cette
suite est une suite de Cauchy, car i est contractante. Comme g({ q >{ q+1 )
ng({ q1 >{ q )> on a g({ q >{ q+1 ) n
q g({ 0 >{ 1 ), et par suite, l’inégalité
g({ q >{ q+s )
q+s1 X
l=q
g({ l >{ l+1 ) g({ 0 >{ 1 )
4
X
l=q
n
l =
n
q
1 n
g({ 0 >{ 1 )
Comme 0 n?1,l as u i t e{ q est bien une suite de Cauchy. L’espace H
étant complet, la suite { q converge. Soit x sa limite. La fonction i étant