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Équations algébriques
théorème de d’Alembert a!rme que l’équation algébrique S ({)=0où S
est un polynôme de degré q admet exactement q racines distinctes ou non,
réelles ou complexes, et dans le cas complexe, deux à deux conjuguées.
Depuis l’Antiquité, l’homme a cherché des formules explicites donnant les
valeurs des racines en fonction des coe!cients du polynôme S ({) à l’image
de l’équation du second degré {
2 s{ + t =0qui admet si s
2 4tA0 deux
racines réelles { 1 et { 2 vérifiant s = { 1 + { 2 et t = { 1 { 2 = Au XVI
h
siècle,
Niccolo Tartaglia, Scipione del Ferro et Antonio Fior ont cherché à résoudre
des équations cubiques, mais c’est Girolamo Cardano (Cardan) qui donna
en 1545 dans son Ars magna les formules de résolution. L’équation générale
du troisième degré exprimée sous forme alternée
{
3 d{
2 + e{ f =0
admet dans certains cas trois racines { 1 >{ 2 >{ 3 qui vérifient d = { 1 +{ 2 +{ 3 ,
e = { 1 { 2 + { 2 { 3 + { 1 { 3 et f = { 1 { 2 { 3 . On démontre que cette équation se
ramène par un changement de variable ([ = { d@3)àu n eé q u a t i o nd u
type
{
3 + s{ + t =0
Elle admet si =4 s
3 +27t
2
est positif, trois racines distinctes données
par les formules de Cardan
{ 1 =
1
3
(x + y)
{ 2 =
1
3
(mx + m
2 y) hw { 3 =
1
3
(m
2 x + my)
avec m
3 =1et x et y étant données par
x =
3
r
27
2
t +
3
2
s
3Dy =
3
r
27
2
t
3
2
s
3D
Si A 0, alors D =
s
x est diérent de y. Les racines { 2 et { 3 sont
imaginaires conjuguées. { 1 est la seule racine réelle qui s’exprime à l’aide
de radicaux réels. En revanche, si ? 0, alors D = l
s
>x = y.L e s
trois racines sont réelles, mais l’expression qui est sous la racine cubique est
complexe. Dans ce cas, il est impossible d’exprimer les racines de l’équation
sous forme de radicaux réels.
L’équation du quatrième degré a été résolue par Luigi Ferrari, un disciple
de Cardan. Exprimée sous forme alternée, l’équation
{
4 d{
3 + e{
2 f{ + g =0
admet dans certains cas quatre racines { 1 >{ 2 >{ 3 >{ 4 qui vérifient d = { 1
+{ 2 + { 3 + { 4 , e = { 1 { 2 + { 2 { 3 + { 1 { 3 + { 1 { 4 + { 2 { 4 + { 3 { 4 >f= { 1 { 2 { 3
+{ 1 { 2 { 4 + { 1 { 3 { 4 + { 2 { 3 { 4 et g = { 1 { 2 { 3 { 4 . Par changement de variable,
on vérifie que l’équation se ramène à la forme
{
4 + s{
2 + t{ + u =0
Équations algébriques
théorème de d’Alembert a!rme que l’équation algébrique S ({)=0où S
est un polynôme de degré q admet exactement q racines distinctes ou non,
réelles ou complexes, et dans le cas complexe, deux à deux conjuguées.
Depuis l’Antiquité, l’homme a cherché des formules explicites donnant les
valeurs des racines en fonction des coe!cients du polynôme S ({) à l’image
de l’équation du second degré {
2 s{ + t =0qui admet si s
2 4tA0 deux
racines réelles { 1 et { 2 vérifiant s = { 1 + { 2 et t = { 1 { 2 = Au XVI
h
siècle,
Niccolo Tartaglia, Scipione del Ferro et Antonio Fior ont cherché à résoudre
des équations cubiques, mais c’est Girolamo Cardano (Cardan) qui donna
en 1545 dans son Ars magna les formules de résolution. L’équation générale
du troisième degré exprimée sous forme alternée
{
3 d{
2 + e{ f =0
admet dans certains cas trois racines { 1 >{ 2 >{ 3 qui vérifient d = { 1 +{ 2 +{ 3 ,
e = { 1 { 2 + { 2 { 3 + { 1 { 3 et f = { 1 { 2 { 3 . On démontre que cette équation se
ramène par un changement de variable ([ = { d@3)àu n eé q u a t i o nd u
type
{
3 + s{ + t =0
Elle admet si =4 s
3 +27t
2
est positif, trois racines distinctes données
par les formules de Cardan
{ 1 =
1
3
(x + y)
{ 2 =
1
3
(mx + m
2 y) hw { 3 =
1
3
(m
2 x + my)
avec m
3 =1et x et y étant données par
x =
3
r
27
2
t +
3
2
s
3Dy =
3
r
27
2
t
3
2
s
3D
Si A 0, alors D =
s
x est diérent de y. Les racines { 2 et { 3 sont
imaginaires conjuguées. { 1 est la seule racine réelle qui s’exprime à l’aide
de radicaux réels. En revanche, si ? 0, alors D = l
s
>x = y.L e s
trois racines sont réelles, mais l’expression qui est sous la racine cubique est
complexe. Dans ce cas, il est impossible d’exprimer les racines de l’équation
sous forme de radicaux réels.
L’équation du quatrième degré a été résolue par Luigi Ferrari, un disciple
de Cardan. Exprimée sous forme alternée, l’équation
{
4 d{
3 + e{
2 f{ + g =0
admet dans certains cas quatre racines { 1 >{ 2 >{ 3 >{ 4 qui vérifient d = { 1
+{ 2 + { 3 + { 4 , e = { 1 { 2 + { 2 { 3 + { 1 { 3 + { 1 { 4 + { 2 { 4 + { 3 { 4 >f= { 1 { 2 { 3
+{ 1 { 2 { 4 + { 1 { 3 { 4 + { 2 { 3 { 4 et g = { 1 { 2 { 3 { 4 . Par changement de variable,
on vérifie que l’équation se ramène à la forme
{
4 + s{
2 + t{ + u =0