66
Approximants de Padé
soit matriciellement
V(w)=(1>w>w
2 >w
3 )
3
E
E
C
1000
3 300
3
63
0
13
31
4
F
F
D
3
E
E
C
S 0
S 1
S 2
S 3
4
F
F
D
Si les points sont des points du plan de coordonnées ({ l >| l ), ce système
équivaut à
½
{(w)=({ 3 3{ 2 +3{ 1 { 0 )w
3 +3({ 2 2{ 1 + { 0 )w
2 +3({ 1 { 0 )w + { 0
|(w)=(| 3 3| 2 +3| 1 | 0 )w
3 +3(| 2 2| 1 + | 0 )w
2 +3(| 1 | 0 )w + | 0
2.12 Approximants de Padé
L’approximation de Padé est une approximation locale qui consiste à
prendre au voisinage d’un point donné une approximation sous forme de
fraction polynomiale z({)=S ({)@T({). En particulier, lorsqu’une fonction i admet un développement en fractions continues, la suite des fractions
tronquées à l’ordre q forme une suite i q qui converge vers i uniformément
sur tout compact. Par exemple, la fonction exponentielle :
h
{ =1+
{
1+
{
2+
{
3+
{
2+
{
5+
{
2+
{
7+···
La troncature de l’exponentielle conduit à des approximations fractionnaires qui convergent très rapidement. De même, la fonction cosinus peut
être approchée au voisinage de 0 par l’expression
cos({) ' 1
1
2
{
2 +
1
24
{
4
avec un dénominateur du second degré
cos({) '
1
7
15
{
2 +
1
40
{
4
1+
1
30
{ 2
ou comme le rapport de deux polynômes du quatrième degré
cos({) '
1
115
252 {
2 +
313
15120 {
4
1+
11
252 { 2 +
13
15120 { 4